cho abc =1 ( số dương) cmr 1/(a^2+a+1) + 1/(b^2+b+1) + 1/(c^2+c+1) >=1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
31 tháng 7 2020
Xài BĐT Bunhiacopski :
\(\left(b+c+c+a+a+b\right)\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\right)\)
\(\ge\left(a+b+c\right)^2\Rightarrow P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1
Sử dụng Bunhiacopski đỡ phải chứng minh lại Cauchy Schwarz
HP
16 tháng 3 2021
Đặt \(a=\dfrac{yz}{x^2};b=\dfrac{zx}{y^2};c=\dfrac{xy}{z^2}\)
Áp dụng BĐT BSC:
\(\dfrac{1}{a^2+a+1}+\dfrac{1}{b^2+b+1}+\dfrac{1}{c^2+c+1}\)
\(=\dfrac{x^4}{x^4+x^2yz+y^2z^2}+\dfrac{y^4}{y^4+y^2zx+z^2x^2}+\dfrac{z^4}{z^4+z^2xy+x^2y^2}\)
\(\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^4+y^4+z^4+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+xyz\left(x+y+z\right)}\)
Ta cần chứng minh:
\(\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^4+y^4+z^4+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+xyz\left(x+y+z\right)}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge x^4+y^4+z^4+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+xyz\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2-xy.yz-yz.zx-zx.xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(xy-yz\right)^2+\left(yz-zx\right)^2+\left(zx-xy\right)^2\ge0,\forall x,y,z\)
\(\Rightarrow dpcm\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)
LD
0
G
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 6 2021
Bài này đã có ở đây:
Cho abc=1CMR\(\dfrac{a+3}{\left(a+1\right)^2}+\dfrac{b+3}{\left(b+1\right)^2}+\dfrac{c+3}{\left(c+1\right)^2}\ge3\) - Hoc24
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{yz}{x^2};\dfrac{zx}{y^2};\dfrac{xy}{z^2}\right)\)
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(\dfrac{x^4}{x^4+x^2yz+y^2z^2}+\dfrac{y^4}{y^4+xy^2z+z^2x^2}+\dfrac{z^4}{z^4+xyz^2+x^2y^2}\ge1\)
Ta có:
\(VT\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^4+y^4+z^4+xyz\left(x+y+z\right)+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^4+y^4+z^4+xyz\left(x+y+z\right)+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}\ge1\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)\) (hiển nhiên đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)