cho a,b,c>0. tim giá trị nhỏ nhất cua : B=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
27 tháng 4 2017
Áp dụng bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\forall x;y;z\ge0\) ta được :
\(B=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge\frac{9}{3+\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{3+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(a=b=c=1\)
Vậy GTNN của B là \(\frac{3}{2}\) tại \(a=b=c=1\)
TN
3 tháng 7 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(P=\frac{1}{2a-a^2}+\frac{1}{2b-b^2}+\frac{1}{2c-c^2}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
\(=\frac{9}{2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\frac{9}{2-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}\)
\(=\frac{9}{2-\frac{1}{3}}=\frac{9}{\frac{5}{3}}=\frac{27}{5}\)
Xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
AD
1
3 tháng 12 2015
\(A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{1}=9\)
Min A = 9 khi 1/a =1/b =1/c => a =b =c = 1/3
DH
1
PN
26 tháng 3 2016
Sử dụng bất đẳng thức \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) với ba số \(a,b,c\) và ba số \(x,y,z\) không âm, ta có:
\(P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}\) \(\left(1\right)\) (do \(a,b,c>0\))
Mà \(a+b+c=3\) (gt) nên \(\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{3}=3\) \(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) suy ra \(P\ge3\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=1\)
Vậy, \(P_{min}=3\) khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
XO
29 tháng 5 2021
Ta có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
=> \(\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)
=> a2 + b2 \(\ge\)2ab
=> a2 + b2 - 2ab\(\ge\)0
=> (a - b)2 \(\ge\)0 (đúng)
Dấu "=" xảy ra <=> a - b = 0 => a = b
=> Bất đẳng thức được chứng minh
XO
29 tháng 5 2021
P = \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
=> \(\left(a+b+c\right).P=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
=> \(3P=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)
=> \(3P=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\ge3+2+2+2=9\left(cmt\right)\)
=> P \(\ge3\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
mà a + b + c = 3
=> a = b = c = 1
Vậy Min P = 3 <=> a = b= c = 1
NT
1
16 tháng 5 2016
ta có: \(a+1>=2\sqrt{a};b+1>=2\sqrt{b};c+1>=2\sqrt{c}\)
=> \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)>=8\sqrt{abc}=8\)
Vậy min P=8.Dấu = khi a=b=c=1.
16 tháng 5 2016
Áp dụng BĐT Cô-si, ta lần lượt có:
\(a+1\ge\sqrt{a};b+1\ge\sqrt{b};c+1\ge\sqrt{c}\)
Vậy \(P=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge2\sqrt{a}\times2\sqrt{b}\times2\sqrt{c}=8\sqrt{a\times b\times c}=8\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}$
$\Rightarrow B=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq (a+b+c).\frac{9}{a+b+c}=9$
Vậy $B_{\min}=9$
Giá trị này đạt tại $a=b=c$
Cách 2:
$B=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})$
Áp dụng BĐT Cô-si:
$B = 3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})\geq 3+2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}+2\sqrt{\frac{a}{c}.\frac{c}{a}}+2\sqrt{\frac{b}{c}.\frac{c}{b}}$
$=3+2+2+2=9$
Vậy $B_{\min}=9$. Giá trị này đạt tại $a=b=c$