ai thông minh thì mới làm được bài này thầy tôi bảo thế cho a, b dương a+b=1 chứng minh rằng a^2+b^2 lớn hơn hoặc bằng 0,5
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Ta có 111 chia hết cho 37 mà các số dạng aaa khi nào cũng chia hết cho 111 ⇒ Các số có dạng aaa luôn chia hết cho 37 (ĐPCM)
b) Ta có ab-ba=a.10+b-b.10-a=9.a-9.b=9.(a-b)
Vì 9 chia hết cho 9 ⇒ 9.(a-b) chia hết cho 9 ⇒ ab-ba bao giờ cũng chia hết cho 9 (ĐPCM)
c) Ta có 2 trường hợp n có hạng 2k hoặc 2k+1
+) Nếu n= 2k thì n+6 chia hết cho 2 ⇒ (n+3)(n+6) chia hết cho 2
+) Nếu n= 2k+1 thì n+3 chia hết cho 2 ⇒ (n+3)(n+6) chia hết cho 2
⇒ (n+3)(n+6) chia hết cho 2 với mọi n là số tự nhiên
a) \(\overline{aaa}=100a+10a+a=111a\)
mà \(111=37.3⋮37\)
\(\Rightarrow\overline{aaa}⋮37\left(dpcm\right)\)
b) \(\overline{ab}-\overline{ba}=10a+b-10b-a=9a-9b=9\left(a-b\right)⋮9\left(a\ge b\right)\)
\(\Rightarrow dpcm\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{3+a+b+c+}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Với a,b,c > 0 áp dụng BĐT Cauchy, ta có
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)
Cmtt: \(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\ge2\) và \(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\ge2\)
Theo đề bài, ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)(do a + b + c = 1)
\(=1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+1+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+1+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}\)
\(=3+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\)\(\ge3+2+2+2=9\)
Bài toán sai.
Ví dụ: a \(\ge\) b \(\ge\) c 1
Thì có a=1, b=1, c=1
\(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{b+1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}<2\)
Áp dụng bđt Cauchy:
\(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự:
\(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2};\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ac}{2}\)
Cộng theo vế: \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge a+b+c-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ac\right)\ge3-\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
999 - 888 - 111 + 111 - 111 + 111 - 111
= 111 - 111 + 111 - 111 + 111 - 111
= 0 + 111 - 111 + 111 - 111
= 111 - 111 + 111 - 111
= 0 + 111 - 111
= 111 - 111
= 0
\(a)\) Giả sử \(\left|x\right|+\left|y\right|\ge\left|x+y\right|\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)^2\ge\left|x+y\right|^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left|x\right|^2+2\left|xy\right|+\left|y\right|^2\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2+2\left|xy\right|+y^2\ge x^2+2xy+y^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(2\left|xy\right|\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left|xy\right|\ge xy\) ( luôn đúng )
\(b)\) Giả sử \(\left|x\right|-\left|y\right|\le\left|x-y\right|\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(\left|x\right|-\left|y\right|\right)^2\le\left|x-y\right|^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left|x\right|^2-2\left|xy\right|+\left|y\right|^2\le\left(x-y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2-2\left|xy\right|+y^2\le x^2-2xy+y^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(-2\left|xy\right|\le-2xy\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left|xy\right|\ge xy\) ( luôn đúng )
Chúc bạn học tốt ~
ta có ( a+b)2 =1 hay a2 +2ab + b2 =1
laị có ( a-b)2 \(\ge\) 0 hay a2 - 2ab + b2 \(\ge\) 0
Cộng vế vs vế của các BDT trên ta đc: 2 ( a2 + b2 ) \(\ge\) 1
\(\Rightarrow\) a2 + b2 \(\ge\) 0,5