CHo tam giác nhọn ABC, trực tâm H. Tia AH cắt BC ở K. xác định dạng của tam giác ABC để tích KH.KA đạt giá trị lớn nhất
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 2 2020
Vẽ các đường kính AM, BN, CP của (O). Dễ cm được BMCH, CNAH,APBH là các hình bình hành => AH = CN; BH = CM; CH = BM
=> AH + BH + CH = CN + CM + BM
Vì BC cố định nên CN không đổi => (AH + BH + CH) max khi (CM + BM) max. Ta sẽ cm rằng điều đó xảy ra khi M trùng điểm chính giữa cung nhỏ BC.
Thật vậy gọi Q là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Kéo dài BQ đoạn QD = BQ = CQ, kéo dài BM đoạn ME = MC => BD = BQ + CQ = 2BQ và BE = BM + CM
Vì tg CQD cân tại Q => ^BDC = ^QCD = ^BQC/2
Tương tự tg CME cân tại M => ^BEC = ^MCE = ^BMC/2
Mà ^BMC = ^BQC => ^BEC = ^BDC => B,C,D,E cùng thuộc đường tròn đường kính BD => BE =< BD <=> BM + CM =< 2BQ => (BM + CM)
Max = 2BQ xảy ra khi E trùng D hay khi M trùng Q khi đó A là điểm chính giữa cung lớn BC
16 tháng 3 2023
a: Kẻ BD vuông góc AC,CE vuông góc AB
góc BEC=góc BDC=90 độ
=>BEDC nội tiếp
=>góc AED=góc ACB
=>ΔAED đồng dạng vơi ΔACB
Tâm M của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDCE là trung điểm của BC
Gọi H là giao của BD và CE
=>AH vuông góc BC tại N
Gọi giao của OM với (O) là A'
ΔOBC cân tại O
=>OM vuông góc BC
AN<=A'M ko đổi
=>\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AN\cdot BC< =\dfrac{1}{2}\cdot A'M\cdot BC_{kođổi}\)
Dấu = xảy ra khi A trùng A'
=>A là điểm chính giữa của cung BC
9 tháng 3 2022
-Sửa đề: Đoạn BC không đổi.
-BH cắt AC tại D.
-Xét △ABC có:
H là trực tâm, AK là đường cao.
\(\Rightarrow\)H∈AK, BH là đường cao.
Mà BH cắt AC tại D (gt)
\(\Rightarrow\)BH⊥AC tại D.
-Xét △HBK và △HAD có:
\(\widehat{BKH}=\widehat{HDA}=90^0\)
\(\widehat{BHK}=\widehat{AHD}\) (đối đỉnh)
\(\Rightarrow\)△HBK∼△HAD (g-g).
-Xét △HBK và △CAK có:
\(\widehat{HKB}=\widehat{CKA}=90^0\)
\(\widehat{HBK}=\widehat{KAC}\)(△HBK∼△HAD)
\(\Rightarrow\)△HBK∼△CAK (g-g).
\(\Rightarrow\dfrac{KH}{KC}=\dfrac{KB}{KA}\) (tỉ số đồng dạng)
\(\Rightarrow KH.KA=KB.KC\)
-Gọi M là trung điểm BC \(\Rightarrow MB=MC=\dfrac{BC}{2}\)
\(KH.KA\le\dfrac{BC^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow KB.KC\le\left(\dfrac{BC}{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(MB-MK\right)\left(MC+MK\right)\le MB^2\) (do cách dựng hình)
\(\Leftrightarrow\left(MB-MK\right)\left(MB+MK\right)\le MB^2\)
\(\Leftrightarrow MB^2-MK^2\le MB^2\) (luôn đúng do MK>0)
-Vậy \(KH.KA\le\dfrac{BC^2}{4}\) . Dấu bằng xảy ra khi △ABC cân tại A.