Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{2007^2}<\frac{1}{4}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
3 tháng 4 2016
a) \(\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{2007^2}<\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{6\cdot7}+...+\frac{1}{2006\cdot2007}\)
=> \(<\frac{1}{4}-\frac{1}{2007}<\frac{1}{4}\)
\(vậy:\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{2007^2}<\frac{1}{4}\)
b) \(\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{2007^2}>\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{6\cdot7}+\frac{1}{7\cdot8}+...+\frac{1}{2007\cdot2008}\)
=> \(>\frac{1}{5}-\frac{1}{2008}>\frac{1}{5}\)
\(vậy:\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{2007^2}>\frac{1}{5}\)
20 tháng 7 2019
\(\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{2007^2}< \frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+...+\frac{1}{2006.2007}\)
\(=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{2006}-\frac{1}{2007}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2007}< \frac{1}{4}\)
D
15 tháng 1 2020
Ta có: \(\frac{1}{5^2}< \frac{1}{4.5};\frac{1}{6^2}< \frac{1}{5.6};...;\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}\)
Cộng vế với vế ta được: \(\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{100^2}< \frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+...+\frac{1}{99.100}=\frac{1}{4}-\frac{1}{100}=\frac{6}{25}< \frac{6}{24}=\frac{1}{4}\)(1)
Tương tự: \(\frac{1}{5^2}>\frac{1}{5.6};\frac{1}{6^2}>\frac{1}{6.7};...;\frac{1}{100^2}>\frac{1}{100.101}\)
Cộng vế với vế ta được \(\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{100^2}>\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+...+\frac{1}{100.101}=\frac{1}{5}-\frac{1}{101}=\frac{96}{505}>\frac{96}{576}=\frac{1}{6}\)(2)
Từ (1) và (2) =>đpcm
16 tháng 12 2019
\(Ta\) \(có : \)
\(1 / 5^2 + 1 /6^2 + ... + 1 /100^2 < 1 /4.5\)\(+ 1 / 5 .6 + ... + 1 / 99 .100\)
\(Mà ta có:\)\(1 / 4 .5 + 1 / 5 .6 + ... + 1 / 99 .100\)
\(\Rightarrow\)\(1 / 4 - 1 / 5 + 1 / 5 - 1 / 6 + ... +\)\(1 / 99 - 1 / 100\)
\(\Rightarrow\)\(1 / 4 - 1 / 100\) \(< 1 / 4\)
\(Nên 1 / 5^2 + 1 /6^2 + ...+ 1 / 100^2 < 1 / 4\)
Tương tự chứng minh tiếp nhé 😘😘
27 tháng 11 2016
C/m<1/4
t\(n^2>n\left(n-1\right)=>\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n\left(n-1\right)}\)
\(\frac{1}{5^2}<\frac{1}{4.5};\frac{1}{6^2}<\frac{1}{5.6};\frac{1}{100^2}<\frac{1}{99.100}\)
\(\frac{1}{4.5}+..+\frac{1}{99.100}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+..+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=\frac{1}{4}-\frac{1}{100}<\frac{1}{4}.ok\)
CM>1/6
\(n^2\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)
\(\frac{1}{5.6}+...+\frac{1}{100.101}=\frac{1}{5}-\frac{1}{101}>\frac{1}{5}>\frac{1}{6}\)OK
27 tháng 11 2016
doan cuoi
\(\frac{1}{5}-\frac{1}{101}=\frac{96}{5.101}>\frac{96}{5.102}=\frac{1.}{6}.\frac{96}{85}>\frac{1}{6}ok\)
21 tháng 4 2016
ta có :\(\frac{1}{5^2}<\frac{1}{4.5}\)
\(\frac{1}{6^2}<\frac{1}{5.6}\)
\(\frac{1}{7^2}<\frac{1}{6.7}\)
.....
\(\frac{1}{100^2}<\frac{1}{99.100}\)
\(\Rightarrow A<\frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+...+\frac{1}{99.100}\)
\(=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=\frac{1}{4}-\frac{1}{100}<\frac{1}{4}\) (1)
Ta có : \(\frac{1}{5.6}<\frac{1}{5^2}\)'
\(\frac{1}{6.7}<\frac{1}{6^2}\)
....\(\frac{1}{100.101}<\frac{1}{100^2}\)
\(\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+\frac{1}{7.8}+...+\frac{1}{100.101}\) <A
\(=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+....+\frac{1}{100}-\frac{1}{101}\) <A
\(\frac{1}{5}-\frac{1}{101}\) <A
mà \(\frac{96}{5.101}=\frac{96}{505}>\frac{96}{576}\)
hay \(A>\frac{1}{6}\) (2)
từ (1); và (2) suy ra \(\frac{1}{6}<\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+..+\frac{1}{100^2}<\frac{1}{4}\) (đpcm)
đây là cách dễ hiểu nhất nhé
PT
2
DD
1 tháng 8 2015
1/5^2+1/6^2+...+1/2007^2<1/4.6+1/5.7+...+1/2006.2008
=1/2(1/4-1/6+...+1/2006-1/2008)
=1/2.1/4-1/4016
=1/8-1/4016<50/251 (Vì 1/8<50/251)
KM
17 tháng 3 2016
Bất đẳng thức của bạn sai dấu, để kiểm tra, bạn bấm máy tính tổng sigma của chuỗi 1/i2 với i chạy từ 5 đến 100, kết quả là 0,211...> 50/251.
Bài giải của bạn Đào Đức Mạnh sai ở dòng thứ 3: "=1/2.1/4 - 1/4016", thay vào đó phải sửa là "= (1/2).(1/4 + 1/5 - 1/2007 - 1/2008). Bạn có thể khai triển cụ thể hơn theo hướng giải ban đầu của bạn Mạnh để thấy 1/5 và -1/2007 ko bị triệt tiêu. Vì đpcm đã sai ngay từ đầu nên mình ko làm tiếp cách này.
Mình sẽ chứng minh điều ngược lại: VT > 50/251
VT = 1/52 + 1/6.6 + 1/7.7 +.....+1/2007.2007 > 1/52 + 1/6.7 +1/7.8 + .... +1/2007.2008 = 1/52 + 1/6 - 1/7 +1/7 - 1/8 + .... -1/2007 + 1/2007 - 1/2008 = 1/52 + 1/6 - 1/2008 =1/25 +4/25 - 4/25 + 1/6 -1/2008 = 1/5 +1/150 - 1/2008 >1/5 = 50/250 >50/251 (do 1/150 - 1/2008 >0).
Mình nghĩ đây ko phải cách giải tốt nhất. Mong nhận được hướng giải quyết thông minh hơn từ các bạn! Thanks in advance!
Ta có:
\(\frac{1}{5^2}<\frac{1}{4.5}\)
\(\frac{1}{6^2}<\frac{1}{5.6}\)
\(\frac{1}{7^2}<\frac{1}{6.7}\)
\(...\)
\(\frac{1}{2007^2}<\frac{1}{2006.2007}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{2007^2}<\frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+...+\frac{1}{2006.2007}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{2007^2}<\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{2006}-\frac{1}{2007}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{2007^2}<\frac{1}{4}-\frac{1}{2007}\)
Mà \(\frac{1}{4}-\frac{1}{2007}<\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{2007^2}<\frac{1}{4}\)
thuỳ dung đúng đấy