Question

[Nguyễn Thị Phương Duyên]

a ) chứng minh rằng với n thuộc N thì n^5 -n chia hết cho 30

b) tìm số tự nhiên n để phân số n+13/n-2 nguyên

Answer 1

[Akai Haruma]

1/

$A=n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)$

Nếu $n$ lẻ thì $n^2-1$ chẵn $\Rightarrow A\vdots 2$

Nếu $n$ chẵn thì hiển nhiển $A\vdots 2$

Vậy $A\vdots 2(1)$
--------------------

Nếu $n\vdots 3$ thì hiển nhiên $A\vdots 3$

Nếu $n$ không chia hết cho 3. Ta biết 1 scp khi chia cho 3 dư 0 hoặc 1. Mà $n$ không chia hết cho $3$ nên $n^2$ chia 3 dư 1. 

$\Rightarrow n^2-1\vdots 3\Rightarrow A\vdots 3$

Vậy $A\vdots 3(2)$

---------------------------

Nếu $n$ chia hết cho 5 thì hiển nhiên $A\vdots 5$
Nếu $n$ không chia hết cho 5: Ta biết 1 scp khi chia 5 dư 0,1 hoặc 4. $n^2$ không chia hết cho 5 nên $n^2$ chia 5 dư 1 hoặc 4.

+ $n^2$ chia 5 dư 1 thì $n^2-1\vdots 5\Rightarrow A\vdots 5$

+ $n^2$ chia 5 dư 4 thì $n^2+1\vdots 5\Rightarrow A\vdots 5$

Vậy tóm lại $A\vdots 5(3)$

Từ $(1); (2); (3)$ mà $2,3,5$ đôi một nguyên tố cùng nhau nên $A\vdots (2.3.5)$ hay $A\vdots 30$