Question

[Toi hơi nqu :]

Cho tam giác ABC vuông tại A. Qua B kẻ Bx vuông góc với AB, qua C kẻ Cy vuông góc AC.  Gọi D là giao điểm của Bx và Cy. 

a)  Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật.

b)  Vẽ M đối xứng với B qua A, N đối xứng với C qua A.          Chứng minh tứ giác BCMN là hình thoi và AD = MC.

c)   Gọi E, F thứ tự là trung điểm của AC và MN. Chứng minh EF// ND.

Answer 1

[Phùng khánh my]

a) Để chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật, ta cần chứng minh AB || CD và AB = CD.

Vì Bx vuông góc với AB, nên AB || Bx.

Vì Cy vuông góc với AC, nên AC || Cy.

Do đó, AB || CD.

Ta có:

- Góc ABC = 90 độ (vì tam giác ABC vuông tại A).

- Góc BAC = 90 độ (vì Bx vuông góc với AB).

- Góc ACB = 90 độ (vì Cy vuông góc với AC).

Vậy tứ giác ABDC có 4 góc vuông, tức là là hình chữ nhật.

b) Gọi M là điểm đối xứng của B qua A và N là điểm đối xứng của C qua A. Ta cần chứng minh tứ giác BCMN là hình thoi và AD = MC.

Vì M là điểm đối xứng của B qua A, nên AM = MB và góc AMB = góc BMA = 90 độ.

Vì N là điểm đối xứng của C qua A, nên AN = NC và góc ANC = góc CNA = 90 độ.

Do đó, ta có:

- AM = MB = MC (vì M là trung điểm của BC).

- AN = NC = NB (vì N là trung điểm của BC).

- Góc BMC = góc BMA + góc AMC = 90 độ + 90 độ = 180 độ (tổng các góc trong tứ giác là 360 độ).

Vậy tứ giác BCMN là hình thoi và AD = MC.

c) Gọi E là trung điểm của AC và F là trung điểm của MN. Ta cần chứng minh EF || ND.

Vì E là trung điểm của AC, nên AE = EC.

Vì F là trung điểm của MN, nên AF = FN.

Do đó, ta có:

- AE = EC = AF = FN.

- Góc AEF = góc AFE = góc NDF = góc NFD = 90 độ (vì E và F lần lượt là trung điểm của AC và MN).

Vậy EF || ND.