cho x>0 y>0 và x+y=1
tìm GTNN của biểu thức M=3/xy+2/(x^2+y^2)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
0
PL
1
29 tháng 12 2019
\(Q=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy+2016=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{4xy}+4xy+\frac{5}{4xy}+2016\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\). Dấu "=" khi a=b (bạn tự chứng minh)
\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}=4\)
Vì x>0, y>0 nên xy>0
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương
\(\frac{1}{4xy}+4xy\ge2\sqrt{\frac{1}{4xy}.4xy}=2\)
Ta có: \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{5}{4xy}\ge5\)
Dấu "=" khi \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=2xy\\\frac{1}{4xy}=4xy\\x=y\end{cases}\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow Q\ge4+2+5+2016=2027\)
Vậy \(minQ=2027\)khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
AR
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 5 2019
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương:
\(x^2+1\geq 2x\); \(y^2+1\geq 2y\)
\(\Rightarrow M=x^2+y^2+\frac{3}{x+y+1}\geq 2x+2y-2+\frac{3}{x+y+1}\)
hay \(M\geq \frac{5}{3}(x+y)-\frac{7}{3}+\frac{x+y+1}{3}+\frac{3}{x+y+1}\)
Tiếp tục áp dụng BĐT Cauchy:
\(\frac{x+y+1}{3}+\frac{3}{x+y+1}\geq 2\)
\(x+y\geq 2\sqrt{xy}=2\)
Do đó: \(M\geq \frac{5}{3}.2-\frac{7}{3}+2=3\)
Vậy GTNN của $M$ là $3$. Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$
2 tháng 11 2018
\(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{xy}+4xy=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{4xy}+4xy+\dfrac{5}{4xy}\)Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\left(a,b>0\right)\)(bn tự cm BĐT này) và BĐT cauchy ta có:
\(A\ge\dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}+2\sqrt{\dfrac{1}{4xy}.4xy}+\dfrac{5}{\left(x+y\right)^2}\)=
\(=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}+2+\dfrac{5}{\left(x+y\right)^2}\ge4+2+5=11\)(vì x+y\(\le\)1)
Vậy Min A = 11 \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)
VT
1
27 tháng 11 2019
\(P=\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{xy}=\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy}+\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+x+y\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\frac{4xy}{2xy}=\frac{4\left(x+y\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+2=6\)
"=" xảy ra <=> x = y.
\(\)
NT
1
HT
4 tháng 1 2020
\(\Leftrightarrow Q=\frac{\left(x+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}\right)^3}{xy^2}\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương:
\(x+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}\ge3\sqrt[3]{x.\frac{y}{2}.\frac{y}{2}}=3\sqrt[3]{\frac{xy^2}{4}}\)
\(\Rightarrow\left(x+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}\right)^3\ge3.\frac{xy^2}{4}\)
\(\Rightarrow Q\ge\frac{3.\frac{xy^2}{4}}{xy^2}=\frac{3}{4}\)
\("="\Leftrightarrow x=\frac{y}{2}\Leftrightarrow y=2x\)