Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ đường tròn tâm A cắt đường tròn (O) ở C và D . kẻ dây BN của đường tròn (O), cắt đường tròn A tại điểm E ở bên trong đường tròn (O). Chứng minh rằng
a) góc CEN = góc EDN
b) NE^2 = NC. ND
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
27 tháng 11 2023
Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔACB vuông tại C
=>CB\(\perp\)CA tại C
=>CB là tiếp tuyến của (A;AC)
Xét (A;AC) có
\(\widehat{BCE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến CB và dây cung CE)
\(\widehat{CDE}\) là góc nội tiếp chắn cung CE
Do đó: \(\widehat{BCE}=\widehat{CDE}\)
Xét (O) có
\(\widehat{CBE}\) là góc nội tiếp chắn cung CN
\(\widehat{CDN}\) là góc nội tiếp chắn cung CN
Do đó: \(\widehat{CBE}=\widehat{CDN}\)
mà \(\widehat{BCE}=\widehat{CDE}\)
nên \(\widehat{CBE}+\widehat{BCE}=\widehat{CDN}+\widehat{CDE}=\widehat{NDE}\left(1\right)\)
Xét ΔCEB có \(\widehat{CEN}\) là góc ngoài tại đỉnh E
nên \(\widehat{CEN}=\widehat{CBE}+\widehat{BCE}\left(2\right)\)
Từ(1) và (2) suy ra \(\widehat{CEN}=\widehat{NDE}\)
AC=AD
=>A nằm trên đường trung trực của CD(3)
OC=OD
=>O nằm trên đường trung trực của CD(4)
Từ (3) và (4) suy ra OA là đường trung trực của CD
=>BA là đường trung trực của CD
=>\(sđ\stackrel\frown{BC}=sđ\stackrel\frown{BD}\)
Xét (O) có
\(\widehat{BNC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC
\(\widehat{BND}\) là góc nội tiếp chắn cung BD
\(sđ\stackrel\frown{BC}=sđ\stackrel\frown{BD}\)
Do đó: \(\widehat{BNC}=\widehat{BND}\)
Xét ΔCEN và ΔEDN có
\(\widehat{CEN}=\widehat{EDN}\)
\(\widehat{CNE}=\widehat{END}\)
Do đó: ΔCEN đồng dạng với ΔEDN
=>\(\dfrac{NC}{NE}=\dfrac{NE}{ND}\)
=>\(NE^2=NC\cdot ND\)
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
15 tháng 12 2017
a) Do D thuộc đường tròn (O), AB là đường kính nên \(\widehat{BDC}=90^o\Rightarrow BD\perp AC\)
Xét tam giác vuông ABC, đường cao BD ta có:
\(AB^2=AD.AC\) (Hệ thức lượng)
b) Xét tam giác BEC có O là trung điểm BC; OH // CE nên OH là đường trung bình của tam giác. Vậy nên H là trung điểm BE.
Ta có OH // CE mà CE vuông góc AB nên \(OH\perp BE\)
Xét tam giác ABE có AH là trung tuyến đồng thời đường cao nên nó là tam giác cân.
Hay AB = AE.
Từ đó ta có \(\Delta ABO=\Delta AEO\left(c-c-c\right)\Rightarrow\widehat{OEA}=\widehat{OBA}=90^o\)
Vậy AE là tiếp tuyến của đường tròn (O)
c) Xét tam giác vuông OBA đường cao BH, ta có:
\(OB^2=OH.OA\) (Hệ thức lượng)
\(\Rightarrow OC^2=OH.OA\Rightarrow\frac{OH}{OC}=\frac{OC}{OA}\)
Vậy nên \(\Delta OHC\sim\Delta OCA\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{OHC}=\widehat{OCA}\)
d) Ta thấy \(\widehat{OCF}=\widehat{FCE}\left(=\widehat{OFC}\right)\)
Lại có \(\widehat{OCH}=\widehat{ACE}\left(=\widehat{OAC}\right)\)
Nên \(\widehat{HCF}=\widehat{FCA}\) hay CF là phân giác góc HCA.
Xét tam giác HCA, áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:
\(\frac{HF}{FA}=\frac{HC}{CA}\Rightarrow FA.HC=HF.CA\left(đpcm\right)\)
15 tháng 12 2017
ở phần c còn cạnh nào nữa để 2 tam giác đấy đồng dạng vậy cậu
CM
17 tháng 1 2019
a. b.
c. - Đường tròn (O’; 1cm) có đường kính là: EF; Các dây cung là: EA, EB, AB, FA, FB
Vì E thuộc (O’; 1cm) nên EO’=1cm; EF=2.EO’=2cm
- Đường tròn (O; 1,5cm) có đường kính là: DC; Các dây cung là: DA, DB, AB, AC, CB
Vì C thuộc (O; 1,5cm) nên CO=1,5cm; DC=2.CO=3cm
d. Vì đường tròn (O’; 1cm) cắt đoạn thẳng OO’ tại E, nên E nằm giữa 2 điểm O và O’.
Ta có: O E + E O ' = O O ' ⇒ O E = 1 c m
Mà EO’=1cm, nên OE=EO’ (=1cm)
Do đó: E là trung điểm của đợn thẳng OO’.
e. Vì đường tròn (O; 1cm) cắt đường thẳng OO’ tại D, đường tròn (O’; 1cm) cắt đường thẳng OO’ tại F, nên 4 điểm D, O, O’, F lần lượt theo thứ tự đó và DO=1,5cm; O’F=1cm.
Ta có: D F = D O + O O ' + O ' F = 1 , 5 + 2 + 1 = 4 , 5 c m .
Vậy DF=4,5cm
10 tháng 1 2022
a: Xét ΔOAC và ΔOBC có
OA=OB
\(\widehat{AOC}=\widehat{BOC}\)
OC chung
Do đó: ΔOAC=ΔOBC
Suy ra: \(\widehat{OAC}=\widehat{OBC}=90^0\)
hay BC là tiếp tuyến của (O)
b: Xét (O) có
ΔABD nội tiếp
BD là đường kính
Do đó: ΔABD vuông tại A
Suy ra: BA⊥AD
mà AB⊥OC
nên AD//OC
