Question

[Nguyễn Phạm Đạt Anh]

cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. trên cạnh BC lấy điểm E, qua A kẻ đuờng thẳng vuông góc với AE, cắt CD tại F. I là trung điểm của EF, AI cắt CD tại K . CMinh AEF là tam giác vuông cân và KE KF. D,I,B thẳng hàng . trên AB lấy điểm M sao cho BE BM, tìm vị trí của E trên BC để tam giác DEM đạt giá trị lớn nhất

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

a/

Ta có

\(\widehat{BAE}+\widehat{DAE}=\widehat{ABC}=90^o\)

\(\widehat{FAD}+\widehat{DAE}=\widehat{FAE}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BAE}=\widehat{FAD}\)(1)

Ta có \(AB=AD\) (2)

Xét tg vuông BAE và tg vuông DAF

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\Delta BAE=\Delta DAF\) (hai tg vuông có cạnh góc vuông và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

\(\Rightarrow AE=AF\Rightarrow\Delta AEF\)  cân tại A

Mà \(\widehat{FAE}=90^o\Rightarrow\Delta AEF\) vuông cân tại A

Xét \(\Delta AEF\) có

IE=IF

\(\Rightarrow AD\perp EF\) (trong tg cân đường trung tuyến xp từ đỉnh đồng thời là đường cao)

Xét \(\Delta KEF\) có

IE=IF; \(AD\perp EF\)

\(\Rightarrow\Delta KEF\) là tg cân (trong tg đường cao xp từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến thì tg đó là tg cân) \(\Rightarrow KE=KF\)

b/

Ta có \(\Delta AEF\) vuông cân tại A \(\Rightarrow\widehat{AFE}=\widehat{AEF}=45^o\) (1)

Xét \(\Delta ABD\) có

AB=AD; \(\widehat{BAD}=90^o\Rightarrow\Delta ABD\) vuông cân tại A \(\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{ABD}=45^o\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{AEF}\) (3)

Gọi P là giao của AD với EF; Q là giao của BD với AE

Xét \(\Delta AFP\) và \(\Delta ABQ\) có

AD=AB

\(\Delta AEF\) cân tại A => AF=AE

\(\widehat{DAF}=\widehat{BAE}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta AFP=\Delta ABQ\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{APF}=\widehat{AQB}\)

Mà \(\widehat{APF}=\widehat{DPI};\widehat{AQB}=\widehat{EQI}\) (góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow\widehat{DPI}=\widehat{EQI}\) (4)

Nối D với I, B với I. Xét \(\Delta DPI\) và \(\Delta EQI\)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\widehat{DIP}=\widehat{EIQ}\)

Mà \(\widehat{EIQ}+\widehat{FIB}=\widehat{FIE}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{DIP}+\widehat{FIB}=\widehat{DIB}=180^o\) => D; I; B thẳng hàng

c/ 

Ta có \(AM=AB-BM;CE=BC-BE\)

Mà \(BM=BE;AB=BC\)

\(\Rightarrow AM=CE\)

Ta có AD=CD

\(S_{\Delta ADM}=\frac{AD.AM}{2}=S_{\Delta CDE}=\frac{CD.CE}{2}\Rightarrow S_{\Delta ADM}+S_{\Delta CDE}=2S_{\Delta CDE}=CD.CE\)

\(S_{\Delta BME}=\frac{BE.BM}{2}=\frac{BE^2}{2}\)

Gọi a là cạnh hình vuông ABCD có

\(S_{\Delta DEM}=S_{ABCD}-\left(S_{\Delta ADM}+S_{\Delta CDE}+S_{BME}\right)=\)

\(=a^2-2S_{\Delta CDE}-\frac{BE^2}{2}=a^2-a.CE-\frac{\left(a-CE\right)^2}{2}=\)

\(=\frac{2a^2-2a.CE-a^2+2a.CE-CE^2}{2}=\frac{a^2-CE^2}{2}\)

\(\Rightarrow S_{\Delta DEM}\) lớn nhất khi \(a^2-CE^2\) lớn nhất \(\Rightarrow CE^2\) nhỏ nhất => CE nhỏ nhất

CE nhỏ nhất khi CE=0 => E trùng C