S=1+1/2+1/3+.....+1/2100-1
CMR: S<100
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MC
4 tháng 1 2019
\(S=1+2+2^2+2^3+...+2^{100}\)
\(\Rightarrow2S=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{101}\)
\(\Rightarrow2S-S=\left(2+2^2+2^3+...+2^{101}\right)-\left(1+2+2^2+...+2^{100}\right)\)
\(\Rightarrow S=2^{101}-1\)
Vậy \(S=2^{101}-1\)
4 tháng 1 2021
Có : \(S=1+2+2^2+2^3+....+2^{99}\)
\(\Rightarrow2S=2+2^2+2^3+....+2^{100}\)
\(\Rightarrow2S-S=\left(2+2^2+2^3+...+2^{100}\right)-\left(1+2+2^2+....+2^{99}\right)\)
\(\Rightarrow S=2^{100}-1< 2^{100}\)
Vậy \(S< 2^{100}\)
4 tháng 1 2021
S=1+2+22+23+....+299
⇒2S=2+22+23+....+2100
⇒2S−S=2100-1
S=2100-1
vì 2100 -1<2100
⇒S<2100
8 tháng 1 2019
a) \(S=1+2+2^2+...+2^{100}\)
\(2S=2+2^2+2^3+...+2^{101}\)
\(2S-S=\left(2+2^2+...+2^{101}\right)-\left(1+2+...+2^{100}\right)\)
\(S=2^{101}-1\)
b) \(X=2^{2012}-2^{2011}-...-2-1\)
\(X=2^{2012}-\left(1+2+...+2^{2011}\right)\)
Đặt \(X=2^{2012}-Y\)
Ta có :
\(Y=1+2+...+2^{2011}\)
\(2Y=2+2^2+...+2^{2012}\)
\(2Y-Y=\left(2+2^2+...+2^{2012}\right)-\left(1+2+...+2^{2011}\right)\)
\(Y=2^{2012}-1\)
\(\Rightarrow X=2^{2012}-2^{2012}+1\)
\(\Rightarrow X=1\)
\(\Rightarrow2010X=2010\)
HP
26 tháng 12 2020
\(x^2+2y^2+3=x^2+y^2+y^2+1+2\ge2xy+2y+2\)
\(z^2+2x^2+3\ge2zx+2x+2\)
\(y^2+2z^2+3\ge2yz+2z+2\)
Dễ chứng minh được \(\dfrac{1}{xy+y+1}+\dfrac{1}{yz+z+1}+\dfrac{1}{zx+x+1}=1\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{x^2+2y^2+3}+\dfrac{1}{z^2+2x^2+3}+\dfrac{1}{y^2+2z^2+3}\)
\(\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{xy+y+1}+\dfrac{1}{yz+z+1}+\dfrac{1}{zx+x+1}\right)=\dfrac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 4 2021
\(VT=\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}+\dfrac{2}{\left(a+1\right)^2}+\dfrac{2}{\left(b+1\right)^2}+\dfrac{2}{\left(c+1\right)^2}\)
Mặt khác:
\(\dfrac{1}{\left(\sqrt{ab}.\sqrt{\dfrac{a}{b}}+1.1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(\sqrt{ab}.\sqrt{\dfrac{b}{a}}+1.1\right)^2}\ge\dfrac{1}{\left(1+ab\right)\left(1+\dfrac{a}{b}\right)}+\dfrac{1}{\left(1+ab\right)\left(1+\dfrac{b}{a}\right)}=\dfrac{1}{1+ab}\)
Do đó:
\(VT\ge\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}+\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ca}\)
\(VT\ge\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{c}}+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a}}+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{b}}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
26 tháng 8 2021
cho em hỏi một tí ạ
Chộ \(\dfrac{1}{\left(\sqrt{ab}.\sqrt{\dfrac{a}{b}}+1.1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(\sqrt{ab}.\sqrt{\dfrac{b}{a}}+1.1\right)^2}\ge\dfrac{1}{\left(ab+1\right)\left(1+\dfrac{a}{b}\right)}+\dfrac{1}{\left(1+ab\right)\left(1+\dfrac{b}{a}\right)}\)
áp dụng công thức gì đây ạ
19 tháng 1 2023
\(ab+bc+ca\le1\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2+1}\ge\sqrt{a^2+ab+bc+ca}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}\le\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}}{2}\)
\(tương\) \(tự\Rightarrow\Sigma\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}\le\dfrac{\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}}{2}+\dfrac{\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}}{2}+\dfrac{\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}}{2}=\dfrac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
\(dấu"="\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{\dfrac{1}{3}}\)
24 tháng 5 2022
cho biểu thức trên = P
\(P=\left(xy\right)^2+\dfrac{1}{\left(xy\right)^2}+2=256\left(xy\right)^2+\dfrac{1}{\left(xy\right)^2}+2-255\left(xy\right)^2< =>P\ge34-255\left(xy\right)^2\)
ta lại có \(x+y\ge2\sqrt{xy}=>1\ge2\sqrt{xy}=>\dfrac{1}{16}\ge\left(xy\right)^2\)
=> \(P\ge34-\dfrac{255}{16}=18\dfrac{1}{16}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=1/2
S=1/20+(1/21+1/22-1)+(1/22+...+1/23-1)+...+(1/299+...+1/2100-1) (100 cặp)
S<1/20.20+1/21.21+1/22.22+...+1/299.299
S<1+1+1+...+1 (100 số 1)
S<100.1
S<100 (ĐPCM)