Question

[Tường Anh Phan]

cho a,b,c là 3 độ dài cạnh trong tam giác cmr (a/b+c) + (b/a+c) + (c/a+b)<2

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:
Xét hiệu:

$\frac{a}{b+c}-\frac{2a}{a+b+c}=\frac{a^2-ab-ac}{(b+c)(a+b+c)}=\frac{a[a-(b+c)]}{(b+c)(a+b+c)}$

Vì $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh trong một tam giác nên $a>0; a-(b+c)<0; b+c>0; a+b+c>0$

$\Rightarrow \frac{a}{b+c}-\frac{2a}{a+b+c}=\frac{a[a-(b+c)]}{(b+c)(a+b+c)}<0$

$\Rightarrow \frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}$

Hoàn toàn tương tự: $\frac{b}{a+c}< \frac{2b}{a+b+c}; \frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}$

Cộng theo vế các BĐT trên ta được:

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2$
Ta có đpcm.