K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Bài này = 8 ak

9 tháng 3 2016

\(\sqrt[3]{xyz}\le\frac{x+y+z}{3}=\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow xyz\le\frac{1}{27}\left(1\right)\)

\(\sqrt[3]{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\le\frac{2\left(x+y+z\right)}{3}=\frac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\le\frac{8}{27}\left(2\right)\)

Từ (1);(2) =>k=\(\frac{8}{729}\Rightarrow9^3\cdot k=8\)

Dấu = xảy ra khi x=y=z=1/3

Cho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nha

NV
8 tháng 4 2022

\(\dfrac{xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\le\dfrac{xyz}{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}}=\dfrac{1}{8}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)

28 tháng 10 2020

a) Đặt \(\hept{\begin{cases}x+y-z=a\\y+z-x=b\\z+x-y=c\end{cases}\Rightarrow}x=\frac{a+c}{2};y=\frac{b+a}{2};z=\frac{c+b}{2}\)

Suy ra bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: \(\frac{a+b}{2}.\frac{b+c}{2}.\frac{c+a}{2}\ge abc\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{8}\ge abc\)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: \(\hept{\begin{cases}a+b\ge2\sqrt{ab}\ge0\\b+c\ge2\sqrt{bc}\ge0\\c+a\ge2\sqrt{ca}\ge0\end{cases}\Rightarrow}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\sqrt{\left(abc\right)^2}=8abc\)

Vật bất đẳng thức được chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\Leftrightarrow x=y=z\)

24 tháng 10 2020

Ta có: \(\frac{1}{\left(3x+1\right)\left(y+z\right)+x}=\frac{1}{3x\left(y+z\right)+x+y+z}\le\frac{1}{3x\left(y+z\right)+3\sqrt[3]{xyz}}\)

\(=\frac{1}{3x\left(y+z\right)+3\sqrt[3]{1}}=\frac{1}{3x\left(y+z\right)+3}=\frac{1}{3\left(xy+zx+1\right)}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+1}\)

Tương tự ta chứng minh được:

\(\frac{1}{\left(3y+1\right)\left(z+x\right)+y}\le\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+1}\) ; \(\frac{1}{\left(3z+1\right)\left(x+y\right)+z}\le\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+1}\)

Cộng vế 3 BĐT trên lại:

\(A\le\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+1}+\frac{1}{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+1}+\frac{1}{\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+1}\right)\)

\(\Leftrightarrow3A\le\frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^3+\left(\frac{1}{\sqrt[3]{y}}\right)^3+1}+\frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{y}}\right)^3+\left(\frac{1}{\sqrt[3]{z}}\right)^3+1}+\frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{z}}\right)^3+\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^3+1}\)

Đặt \(\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}};\frac{1}{\sqrt[3]{y}};\frac{1}{\sqrt[3]{z}}\right)=\left(a;b;c\right)\) khi đó:

\(3A\le\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\)

\(=\frac{1}{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+1}+\frac{1}{\left(b+c\right)\left(b^2-bc+c^2\right)+1}+\frac{1}{\left(c+a\right)\left(c^2-ca+a^2\right)+1}\)

\(\le\frac{1}{\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)+1}+\frac{1}{\left(b+c\right)\left(2bc-bc\right)+1}+\frac{1}{\left(c+a\right)\left(2ca-ca\right)+1}\)

\(=\frac{1}{ab\left(a+b\right)+1}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)+1}+\frac{1}{ca\left(c+a\right)+1}\)

\(=\frac{abc}{ab\left(a+b\right)+abc}+\frac{abc}{bc\left(b+c\right)+abc}+\frac{abc}{ca\left(c+a\right)+abc}\)

\(=\frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{b+c+a}+\frac{b}{c+a+b}\)

\(=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Vậy Max(A) = 1 khi x = y = z = 1

25 tháng 10 2020

Câu hỏi của Pham Van Hung - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

13 tháng 5 2017

Ta chứng minh được các bất đẳng thức bằng biến đổi tương đương và bất đẳng thức Cô-si:

\(x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)

\(xy+yz+zx\ge3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}\)

\(\Rightarrow\frac{xyz}{xy+yz+zx}\le\frac{\sqrt[3]{xyz}}{3}\)

Mà \(\sqrt[3]{xyz}\le\frac{x+y+z}{3}\le\frac{\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}}{3}\)

Vậy \(A\le\frac{\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}}{3}.\frac{\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}+\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{x^2+y^2+z^2}\)

\(A\le\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+1\right)}{3}=\frac{3+\sqrt{3}}{3}\)

18 tháng 5 2019

áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm ta có

\(x+y\ge2\sqrt{xy};y+z\ge2\sqrt{yz};z+x\ge2\sqrt{zx},\)với mọi x,y,z dương\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}\)với x,y,z dương

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8xyz\)

\(\Leftrightarrow\frac{xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\le\frac{1}{8}\)

Hay giá trị lớn nhất của M =8 khi x=y=z

18 tháng 5 2019

mk gõ nhầm chỗ kết luận GTNN của M=1/8

22 tháng 6 2017

thay xyz=(4-x-y-z)2vào

10 tháng 9 2018

Ta có \(x+y+z+\sqrt{xyz}=4\Rightarrow4x+4y+4z+4\sqrt{xyz}=16\)

Ta lại có \(\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}=\sqrt{x\left(16-4y-4z+yz\right)}=\sqrt{x\left(4x+4\sqrt{xyz}+yz\right)}=\sqrt{4x^2+4x\sqrt{xyz}+xyz}=\sqrt{\left(2x+\sqrt{xyz}\right)^2}=2x+\sqrt{xyz}\)

Tương tự \(\sqrt{y\left(4-z\right)\left(4-x\right)}=2y+\sqrt{xyz}\)

\(\sqrt{z\left(4-x\right)\left(4-y\right)}=2z+\sqrt{xyz}\)

Suy ra \(P=\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}+\sqrt{y\left(4-z\right)\left(4-x\right)}+\sqrt{z\left(4-x\right)\left(4-y\right)}-\sqrt{xyz}=2x+\sqrt{xyz}+2y+\sqrt{xyz}+2z+\sqrt{xyz}-\sqrt{xyz}=2x+2y+2z+2\sqrt{xyz}=2\left(x+y+z+\sqrt{xyz}\right)=2.4=8\)