CHƯNGS MINH RẰNG :\(S=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+.............+\frac{1}{200^2}<\frac{1}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
7 tháng 9 2017
\(S=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}\)
\(\Leftrightarrow2S=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}\)
\(>\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}+\frac{1}{\sqrt{80}+\sqrt{81}}\)
\(=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{81}-\sqrt{80}\)
\(=\sqrt{81}-\sqrt{1}=9-1=8\)
\(\Rightarrow S>\frac{8}{2}=4\)
ML
23 tháng 5 2018
Với mọi n nguyên dương ta có:
\(\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=1\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
Với k nguyên dương thì
\(\frac{1}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}>\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}\Rightarrow\frac{2}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}>\frac{1}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=\sqrt{k}-\sqrt{k-1}+\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\)
\(=\sqrt{k+1}-\sqrt{k-1}\)(*)
Đặt A = vế trái. Áp dụng (*) ta có:
\(\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}>\sqrt{3}-\sqrt{1}\)
\(\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}>\sqrt{5}-\sqrt{3}\)
...
\(\frac{2}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}>\sqrt{81}-\sqrt{79}\)
Cộng tất cả lại
\(2A=\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+....+\frac{2}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}>\sqrt{81}-1=8\Rightarrow A>4\left(đpcm\right)\)
3.
Theo bất đẳng thức cô si ta có:
\(\sqrt{b-1}=\sqrt{1.\left(b-1\right)}\le\frac{1+b-1}{2}=\frac{b}{2}\Rightarrow a.\sqrt{b-1}\le\frac{a.b}{2}\)
Tương tự \(\Rightarrow b.\sqrt{a-1}\le\frac{a.b}{2}\Rightarrow a.\sqrt{b-1}+b.\sqrt{a-1}\le a.b\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=2\)
6 tháng 4 2017
4S=\(\dfrac{4}{2^2}-\dfrac{4}{2^4}+\dfrac{4}{2^6}-...+\dfrac{4}{2^{4n-2}}-\dfrac{4}{2^{4n}}+...+\dfrac{4}{2^{2002}}-\dfrac{4}{2^{2004}}\)
4S=1-\(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^4}-,...-\dfrac{1}{2^{2002}}\)
4S+S=1-\(\dfrac{1}{2^{2004}}\)
5S=\(\dfrac{2^{2004}-1}{2^{2004}}\)<1
\(\Rightarrow\)5S<1 hay S<\(\dfrac{1}{5}\)=0,2(đpcm)