cho y , x,z là 3 số tùy ý
CM \(x^2\)+\(y^2\)+\(z^2\)-yz-4x-3y+7\(\ge\) 0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
1 tháng 6 2018
Ta có : x2 + y2 + z2 - yz - 4x - 3y + 7
= [x2 - 4x + 4]+[\(\frac{1}{4}\)* y2 - yz + z2 ] + [ \(\frac{3}{4}\cdot(y^2-4y+4)]\)
= (x-2)^2 + (y/2 - z)^2 + 3/4.(y-2)^2 >= 0
=> đpcm
Chúc bạn học tốt
AP
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 5 2019
\(\Leftrightarrow x^2-4x+4+\frac{y^2}{4}-yz+z^2+\frac{3}{4}\left(y^2-4y+4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+\left(\frac{y}{2}-z\right)^2+\frac{3}{4}\left(y-2\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=y=2\\z=1\end{matrix}\right.\)
PA
10 tháng 5 2018
\(\text{Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn }x+y+z=3\)
\(\text{Chứng minh rằng }T=\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}+\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1\)
➤➤➤Chứng minh:
➢ Áp dụng bất đẳng thức AM - GM
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}\left(\text{vì }x+y+z=3\right)=\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
➢ Tương tự:
\(\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}\le\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
\(\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
➢ Công vế theo vế 3 bất đẳng thức cùng chiều
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}+\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)
➢ \(\text{Đẳng thức xảy ra khi }x=y=z=1\)
➤ \(Max_T=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)
KN
28 tháng 5 2020
Xét \(VT=\frac{xz}{y^2+yz}+\frac{y^2}{xz+yz}+\frac{x+2z}{x+z}\)
\(=\frac{\frac{x}{y}}{\frac{y}{z}+1}+\frac{\frac{y}{z}}{\frac{x}{y}+1}+1+\frac{1}{\frac{x}{z}+1}\)
Đặt \(\frac{x}{y}=u,\frac{y}{z}=v\left(u,v>0\right)\Rightarrow\frac{x}{z}=uv\ge1\)(Do \(x\ge z\))
Khi đó vế trái được viết lại thành: \(\frac{u}{v+1}+\frac{v}{u+1}+1+\frac{1}{uv+1}\ge\frac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{u}{v+1}+\frac{v}{u+1}+\frac{1}{uv+1}\ge\frac{3}{2}\)với \(uv\ge1\)
Theo BĐT Bunhiacopxki dạng phân thức, ta có: \(\frac{u}{v+1}+\frac{v}{u+1}=\frac{u^2}{uv+u}+\frac{v^2}{uv+v}\ge\frac{\left(u+v\right)^2}{2uv+u+v}\)
\(\ge\frac{\left(u+v\right)^2}{\left(u+v\right)+\frac{\left(u+v\right)^2}{2}}=\frac{2\left(u+v\right)}{u+v+2}\)
Mặt khác: \(\frac{1}{uv+1}\ge\frac{1}{\frac{\left(u+v\right)^2}{4}+1}=\frac{4}{\left(u+v\right)^2+4}\)
Khi đó ta quy BĐT cần chứng minh về: \(\frac{2\left(u+v\right)}{u+v+2}+\frac{4}{\left(u+v\right)^2+4}\ge\frac{3}{2}\)(*)
Đặt \(w=u+v\ge2\sqrt{uv}\ge2\). Khi đó (*) trở thành \(\frac{2w}{w+2}+\frac{4}{w^2+4}\ge\frac{3}{2}\)với \(w\ge2\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(w-2\right)^2}{2\left(w+2\right)\left(w^2+4\right)}\ge0\)(đúng với mọi \(w\ge2\))
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}u+v=2\\uv=1\\u=v\end{cases}}\Leftrightarrow u=v=1\)hay x = y = z
28 tháng 5 2020
Bạn tham khảo câu trả lời của mình và các bạn tại đây:
Câu hỏi của Lê Thành An - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
https://olm.vn/hoi-dap/detail/253622963565.html ( link nếu bạn ngại vào TKHĐ )
NB
1
7 tháng 6 2015
x2+y2+z2-yz-4x-3y+7=0
<=> x2 - 4x + 4 +\(\frac{y^2}{4}\)- 2\(\frac{y}{2}\)z + z2 + \(\frac{3}{4}\)y2 - 3y+ 3 = 0
<=> (x - 2)2 + (\(\frac{y}{2}\)- z)2 + 3(\(\frac{y}{2}\)- 1)2 =0
Vậy x,y,z luôn nguyên
sai chỗ nào mong các bạn chỉnh sửa giúp mình ạk!!!!! ^.,..* O.o
13 tháng 4 2023
Tương tự, ta được:
\(\left(2-y\right)\left(2-z\right)>=\dfrac{\left(x+1\right)^2}{4}\)
và \(\left(2-z\right)\left(2-x\right)>=\left(\dfrac{y+1}{2}\right)^2\)
=>8(2-x)(2-y)(2-z)>=(x+1)(y+1)(z+1)
(x+yz)(y+zx)<=(x+y+yz+xz)^2/4=(x+y)^2*(z+1)^2/4<=(x^2+y^2)(z+1)^2/4
Tương tự, ta cũng co:
\(\left(y+xz\right)\left(z+y\right)< =\dfrac{\left(y^2+z^2\right)\left(x+1\right)^2}{2}\)
và \(\left(z+xy\right)\left(x+yz\right)< =\dfrac{\left(z^2+x^2\right)\left(y+1\right)^2}{2}\)
Do đó, ta được:
\(\left(x+yz\right)\left(y+zx\right)\left(z+xy\right)< =\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\)
=>ĐPCM