Cho a,b,c,d >0 và abcd=1. CMR a2+ b2+c2+d2+a(b+c)+b(c+d)+d(c+a) \(\ge\)10
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TT
1
2 tháng 12 2016
Ta có:
a/(1+b²) = a- ab²/(1+b²) ≥ a - ab/2 (do 1+b² ≥ 2b)
Tương tự ta có:
b/(1+c²) ≥ b- bc/2
c/(1+d²) ≥ c - cd/2
d/(1+a²) ≥ d - ad/2
Cộng vế với vế ta được:
VT = a/(1+b²) + b/(1+c²) + c/(1+d²) + d/(1+a²) ≥ (a+b+c+d) - (ab+bc+cd+da)/2
VT ≥ (a+b+c+d -ab+bc+cd+da)/2 + (a+b+c+d)/2
Ta có:
ab+bc+cd+da = (a+c)(b+d) ≤ [(a+b+c+d)/2]² = 4 = a+b+c+d
=> a+b+c+d ≥ ab+bc+cd+da
=> VT ≥ (a+b+c+d)/2 =2
Dấu = khi a=b=c=d=1
NC
17 tháng 8 2020
a) Áp dụng Cauchy Schwars ta có:
\(M=\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = 1
NC
17 tháng 8 2020
b) \(N=\frac{1}{a}+\frac{4}{b+1}+\frac{9}{c+2}\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{36}{6}=6\)
Dấu "=" xảy ra khi: x=y=1
11 tháng 7 2023
\(a^2+b^2+c^2+d^2+1=a\left(b+c+d+1\right)\)
\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4=4ab+4ac+4ad+4a\)
\(\Leftrightarrow a^2-4ab+4b^2+a^2-4ac+4c^2+a^2-4ad+4d^2+a^2-4a+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d\right)^2+\left(a-2\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2b\\a=2c\\a=2d\\a=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=c=d=1\end{matrix}\right.\).
Vậy \(\left(a,b,c,d\right)=\left(2,1,1,1\right)\)
NA
0
CM
0
D
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 4 2021
- Nếu \(abc\ge0\Rightarrow a^2+b^2+c^2+abc\ge0\) dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=0\)
- Nếu \(abc< 0\Rightarrow\) trong 3 số a; b; c có ít nhất 1 số âm
Không mất tính tổng quát, giả sử \(c< 0\Rightarrow ab>0\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}-2\le c< 0\\ab>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow abc\ge-2ab\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+abc\ge a^2+b^2-2ab+c^2=\left(a-b\right)^2+c^2>0\) (không thỏa mãn)
Vậy \(a=b=c=0\)
Ta có : \(a^2+b^2+c^2+d^2+a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+d\left(c+a\right)\)
\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac+bc+bd+dc+da\)
\(=\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)+\left(ab+ac+bc+bd+dc+da\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge4\sqrt[4]{a^2b^2c^2d^2}=4\sqrt[4]{\left(abcd\right)^2}=4\sqrt[4]{1^2}=4\)(1)
\(ab+ac+bc+bd+dc+da\ge6\sqrt[6]{a^3b^3c^3d^3}=6\sqrt[6]{\left(abcd\right)^3}=6\sqrt[6]{1^3}=6\)(2)
Từ (1) và (2) => \(\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)+\left(ab+ac+bc+bd+dc+da\right)\ge4+6=10\)
hay \(a^2+b^2+c^2+d^2+a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+d\left(c+a\right)\ge10\)( đpcm )
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c = d = 1
Áp dụng bất đẳng thức cosi với 4 số a,b,c,d không âm
\(\frac{a+b+c+d}{4}\ge\sqrt[4]{abcd}\)
Mà \(abcd=1\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c+d}{4}\ge1\)
\(\Rightarrow a+b+c+d\ge4\)
Có abcd=1
=> a2 . b2 . c2 . d2 = 1
Áp dụng bất đẳng thức cosi với 4 số không âm a2, b2, c2, d2 có
\(\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}\ge\sqrt[4]{a^2b^2c^2d^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}\ge1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge4\) ( 1 )
Ta có
\(a+b+c+d\ge4\) ( 2 )
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c+d\right)^2\ge16\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd\ge16\)
Cộng ( 1 ) và ( 2 ) ta có
\(2\left(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\ge20\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac+bc+bd+ad+cd\ge10\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+d\left(c+a\right)\ge10\) ( đpcm )