cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC) có M,N,P là trung điểm của AB,BC,AC
a) Chứng minh: AMNP là hình chữ nhật?
b) Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh: B, I, P thẳng hàng?
c) Trên tia đối của MP, lấy K sao cho MK = MP và L là trung điểm của AP. Kẻ KI và KL cắt AB
tại E, F. Chứng minh:EF = 2/3 IL ?
a/ Xét tứ giác AMNP
Ta có
PA=PC; NB=NC => PN là đường trung bình của tg ABC => PN //AB => PN// AM và \(PN=\frac{AB}{2}=AM\)
=> AMPN là hình bình hành (Tứ giác có cặp cạnh đối // và bằng nhau)
Mà \(\widehat{BAC}=90^o\)
=> AMPN là HCN (Hình bình hành có 1 góc vuông là HCN)
b/ Xét tứ giác BMPN có
PN// AB => PN//BM
PN là đường trung bình của tg ABC (cmt) => \(PN=\frac{AB}{2}=BM\)
=> BMPN là hình bình hành (Tứ giác có cặp cạnh đối // và bằng nhau)
=> BP cắt MN tại I (trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) => B, I, P thẳng hàng
c/
Xét tg ABP có
LA=LP; IB=IP => IL là đường trung bình của tg ABP \(\Rightarrow IL=\frac{AB}{2}\Rightarrow AB=2.IL\)
Xét tg AKP có
L là trung điểm của AP => KL là đường trung tuyến của tg AKP
M là trung điểm của KP => AM là trung tuyến của tg AKP
=> F là trọng tâm của tg AKP \(\Rightarrow MF=\frac{AM}{3}=\frac{AB}{6}\)
Xét tg BKP chứng minh tương tự ta cũng có
\(ME=\frac{BM}{3}=\frac{AB}{6}\)
\(\Rightarrow EF=MF+ME=\frac{AB}{3}=\frac{2IL}{3}\)