Question

[Edogawa Conan]

Câu 3:

     a)Chứng minh rằng:\(P=2+2^2+2^3+...+2^{2011}+2^{2012}⋮6\)

     b) Chứng minh rằng với mọi \(n\in N\),n>0 thì:

                                           \(A=n^4+2n^3+2n^2+2n+1\)không phải là số chính phương

Answer 1

[Nguyễn Minh Đăng]

a) \(P=2+2^2+2^3+...+2^{2011}+2^{2012}\)

\(P=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{2011}+2^{2012}\right)\)

\(P=\left(2+2^2\right)+2^2\left(2+2^2\right)+...+2^{2010}\left(2+2^2\right)\)

\(P=6+2^2\cdot6+...+2^{2010}\cdot6\)

\(P=6\cdot\left(1+2^2+...+2^{2010}\right)\) chia hết cho 6

=> P chia hết cho 6

Answer 2

[Nguyễn Minh Đăng]

b) Ta có: \(A=n^4+2n^3+2n^2+2n+1\)

\(A=\left(n^4+2n^3+n^2\right)+\left(n^2+2n+1\right)\)

\(A=n^2\left(n+1\right)^2+\left(n+1\right)^2\)

\(A=\left(n+1\right)^2\left(n^2+1\right)\)

Để A là số chính phương thì \(n^2+1\) cũng phải là số chính phương

Đặt \(n^2+1=x^2\left(x\inℤ\right)\)

\(\Rightarrow x^2-n^2=1\Leftrightarrow\left(x-n\right)\left(x+n\right)=1=1\cdot1=\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)\)

\(\Rightarrow x-n=x+n\Rightarrow n=0\)

Mà n > 0 => Không tồn tại n thỏa mãn

=> A không là số chính phương

=> đpcm