Cho tam giác ABC có đường cao BE, CF. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BE,CF. Kẻ \(AK\perp EF\left(K\in EF\right)\)
Chứng minh rằng tam giác KMN đồng dạng tam giác ABC.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi M là trung điểm BC ; N là điểm đối xứng với H qua M.
M là trung điểm của BC và HN nên BNCH là hình bình hành
\(\Rightarrow NC//BH\)
Mà \(BH\perp AC\Rightarrow NC\perp AC\)hay AN là đường kính của đường tròn ( O )
Dễ thấy OM là đường trung bình \(\Delta AHN\) suy ra \(OM=\frac{1}{2}AH\)
M là trung điểm BC nên OM \(\perp\)BC
Xét \(\Delta AHG\)và \(\Delta OGM\)có :
\(\widehat{HAG}=\widehat{GMO}\); \(\frac{GM}{GA}=\frac{OM}{HA}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\Delta AGH~\Delta MOG\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{AGH}=\widehat{MGO}\)hay H,G,O thẳng hàng
gọi E,F,T lần lượt là trung điểm của AB,CD,BD
Đường thẳng ME cắt NF tại S
Vì AC = BD \(\Rightarrow EQFP\)là hình thoi \(\Rightarrow EF\perp PQ\)( 1 )
Xét \(\Delta TPQ\)và \(\Delta SEF\)có : \(ME\perp AB,TP//AB\)
Tương tự , \(NF\perp CD;\)\(TQ//CD\)
\(\Rightarrow\Delta TPQ~\Delta SEF\)( Góc có cạnh tương ứng vuông góc )
\(\Rightarrow\frac{SE}{SF}=\frac{TP}{TQ}=\frac{AB}{CD}\)
Mặt khác : \(\Delta MAB~\Delta NCD\Rightarrow\frac{AB}{CD}=\frac{ME}{NF}\)( tỉ số đường cao = tỉ số đồng dạng )
Suy ra : \(\frac{ME}{NF}=\frac{SE}{SF}\)\(\Rightarrow EF//MN\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(MN\perp PQ\)
Hình hơi rối, bạn tự vẽ hình nhé!
Lấy điểm S đối xứng với H qua BC, R là giao điểm của KC và MB.
Vì \(ME=MA=MH\)( tính chất trung tuyến )
Kết hợp tính đối xứng của điểm S ta có:
\(\widehat{MSB}=\widehat{BHD}=\widehat{MHE}=\widehat{MEB}\)
=> Tứ giác MESB nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{RBE}=\widehat{MSE}\left(1\right)\)
Lại có: \(\widehat{KSC}=\widehat{CHD}=\widehat{AHF}=\widehat{AEK}\)
Nên tứ giác KSCE cũng nội tiếp
=> \(\widehat{MSE}=\widehat{RCE}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) =>\(\widehat{RBE}=\widehat{RCE}\)
Nên tứ giác RBCE nội tiếp
=> \(\widehat{BRC}=\widehat{BEC}=90^o\)
Trong \(\Delta MBC\)có: \(MK\perp BC\)và \(CK\perp MB\)
Nên K là trực tâm của \(\Delta BMC\)
a: Xét ΔFBC vuông tại F và ΔECB vuông tại E có
CB chung
\(\widehat{FBC}=\widehat{ECB}\)(ΔABC cân tại A)
Do đó: ΔFBC=ΔECB
b:
Ta có;ΔFBC=ΔECB
=>EB=FC
Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có
AB=AC
BE=CF
Do đó: ΔABE=ΔACF
c: Ta có: ΔABE=ΔACF
=>AE=AF
Xét ΔABC có \(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)
nên EF//CB
d: Sửa đề: K là trung điểm của BC, H là giao điểm của BE và CF
Ta có: ΔFBC=ΔECB
=>\(\widehat{FCB}=\widehat{EBC}\)
=>\(\widehat{HBC}=\widehat{HCB}\)
=>ΔHBC cân tại H
=>HB=HC
=>H nằm trên đường trung trực của BC(1)
ta có: KB=KC
=>K nằm trên đường trung trực của BC(2)
Ta có: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(3)
Từ (1),(2),(3) suy ra A,H,K thẳng hàng
Cho tam giác ABC có đường cao BE, CF. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BE,CF. Kẻ AK⊥EF(K∈EF)
Chứng minh rằng tam giác KMN đồng dạng tam giác ABC.
https://photos.app.goo.gl/hMy2YA1WJeardkva8