Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau \(A=x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}\), với \(x^2+y^2=1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 6 2017
\(A=\sqrt{x^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{x^2}}\ge\sqrt{\frac{2x}{y}}+\sqrt{\frac{2y}{x}}\ge2\sqrt{\frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{y}}.\frac{\sqrt{2y}}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{2}\) (Cô si 2 lần)
Vậy min A = \(2\sqrt{2}\). Dấu bằng "=" ra khi và chỉ khi x=y= -1 hoặc x=y=1
NT
0
H
0
MN
2
22 tháng 2 2018
Ta có :
\(P=x^2-x\sqrt{y}+x+y-\sqrt{y}+1\)
\(\Leftrightarrow\)\(2P=2x^2-2x\sqrt{y}+2x+2y-2\sqrt{y}+2\)
\(\Leftrightarrow\)\(2P=\left[\left(x^2-2x\sqrt{y}+y\right)+\frac{4}{3}\left(x-\sqrt{y}\right)+\frac{4}{9}\right]+\left(x^2+\frac{2x}{3}+\frac{1}{9}\right)+\left(y-\frac{2}{3}.\sqrt{y}+\frac{1}{9}\right)+\frac{4}{3}\)
\(\Leftrightarrow\)\(2P=\left(x-\sqrt{y}+\frac{2}{3}\right)+\left(x+\frac{1}{3}\right)^2+\left(y^2-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{4}{3}\ge\frac{4}{3}\)
\(\Leftrightarrow\)\(2P\ge\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow\)\(P\ge\frac{2}{3}\)
Vậy \(P_{min}=\frac{2}{3}\)
22 tháng 2 2018
àk chỗ \(\left(x-\sqrt{y}+\frac{2}{3}\right)\) mình nhầm nhé phải là \(\left(x-\sqrt{y}+\frac{2}{3}\right)^2\)
hihi tại nhìu số quá nên nhìn nhầm sorry :'P
XO
29 tháng 1 2022
\(P=\dfrac{x}{\sqrt{x+y-x}}+\dfrac{y}{\sqrt{x+y-y}}=\dfrac{x}{\sqrt{y}}+\dfrac{y}{\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{x^2}{x\sqrt{y}}+\dfrac{y^2}{y\sqrt{x}}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}\)
\(\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{\dfrac{x+y}{2}.\left(1.\sqrt{x}+1.\sqrt{y}\right)}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{\dfrac{x+y}{2}.\sqrt{\left(1^2+1^2\right)\left(x+y\right)}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)
"=" khi x = y = 1/2
22 tháng 2 2019
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :
\(P=\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}\)
\(=\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)}{\sqrt{xy}}\)
\(\ge\frac{2\sqrt{\sqrt{x}.\sqrt{y}}\left(x+y-\frac{x+y}{2}\right)}{\sqrt{xy}}\)
\(=\frac{x+y}{\sqrt[4]{xy}}\ge\frac{x+y}{\sqrt{\frac{x+y}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}}}=\sqrt{2}\)
Dấu "=" khi x = y = 1/2
Áp dụng BĐT BSC và BĐT \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\):
\(A=x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}\)
\(\Rightarrow A^2=\left(x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}\right)^2\)
\(\le\left(x^2+y^2\right)\left(x+y+2\right)\)
\(\le\left(x^2+y^2\right)\left[\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}+2\right]=\sqrt{2}+2\)
\(\Rightarrow-\sqrt{\sqrt{2}+2}\le A\le\sqrt{\sqrt{2}+2}\)
\(\Rightarrow minA=\sqrt{\sqrt{2}+2}\Leftrightarrow x=y=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)