Question

[Kyozou]

Giải phương trình:

\(x^2+\frac{1}{x^2}+y^2+\frac{1}{y^2}=4\)

Answer 1

[l҉o҉n҉g҉ d҉z҉]

\(x^2+\frac{1}{x^2}+y^2+\frac{1}{y^2}=4\)

ĐKXĐ : x, y ≠ 0

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(x^2+\frac{1}{x^2}\ge2\sqrt{x^2\cdot\frac{1}{x^2}}=2\)(1)

\(y^2+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{y^2\cdot\frac{1}{y^2}}=2\)(2)

Từ (1) và (2) => \(x^2+\frac{1}{x^2}+y^2+\frac{1}{y^2}\ge4\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x^2=\frac{1}{x^2}\\y^2=\frac{1}{y^2}\\x^2\cdot\frac{1}{x^2}=y^2\cdot\frac{1}{y^2}\end{cases}}\Rightarrow x=y=\pm1\)

Vậy phương trình có nghiệm x = y = ±1

P/s: có thể AM-GM cho 4 số luôn cũng được 

Answer 2

[Yuri Sweet[𝕿𝖊𝖆𝖒 𝕹𝖊𝖕𝖆𝖑]]

Ta có : \(x^2+\frac{1}{x^2}+y^2+\frac{1}{y^2}=4\)\(\left(x,y\ne0\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}+y^2+\frac{1}{y^2}-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(y^2-2+\frac{1}{y^2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+\left(y-\frac{1}{y}\right)^2=0\)

mà \(\hept{\begin{cases}\left(x-\frac{1}{x}\right)^2\ge0\forall x\\\left(y-\frac{1}{y}\right)^2\ge0\forall y\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-\frac{1}{x}\right)^2=0\\\left(y-\frac{1}{y}\right)^2=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-\frac{1}{x}=0\\y-\frac{1}{y}=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x^2-1}{x}=0\\\frac{y^2-1}{y}=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2-1=0\\y^2-1=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2=1\left(1\right)\\y^2=1\left(2\right)\end{cases}}\)

Từ \(\left(1\right)\): \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-1\end{cases}}\)

Từ \(\left(2\right)\): \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=1\\y=-1\end{cases}}\)

Vậy \(\left(x;y\right)\in\){\(\left(1;1\right);\left(1;-1\right);\left(-1;1\right);\left(-1;-1\right)\)}