Trong tam giác ABC, đường phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại D. Giả sử (T) là đường tròn tiếp xúc với BC tại D và đi qua điểm A. Gọi M là giao điểm thứ hai của (T) và AC, P là giao điểm thứ hai của (T) và BM, E là giao điểm của AP và BC. Chứng minh rằng BE2 = EP.EA.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
26 tháng 1 2018
If mày định trình bày một idea nào đó, mày should dùng brain của mày
16 tháng 3 2020
Không mất tính tổng quát , giả sử AB < AC ( bỏ qua trường hợp đơn giản AB = AC )
Dễ thấy P là điểm chính giữa \(\widebat{EF}\) nên D,N,P thẳng hàng
Cần chứng minh \(\widehat{IMC}=\widehat{PDC}\)
Ta có : \(\widehat{IMC}=\widehat{MIB}+\widehat{B_1}=\frac{1}{2}\widehat{BIC}+\widehat{B_1}=\frac{1}{2}\left(180^o-\widehat{B_1}-\widehat{C_1}\right)+\widehat{B_1}\)
\(=\frac{1}{2}\left(180^o-\frac{\widehat{ABC}}{2}-\frac{\widehat{ACB}}{2}\right)+\frac{\widehat{ABC}}{2}=90^o+\frac{\widehat{ABC}}{4}-\frac{\widehat{ACB}}{4}\)
\(\widehat{PDC}=\widehat{PDE}+\widehat{EDC}=\frac{1}{2}\widehat{EDF}+\widehat{EDC}\)\(=\frac{1}{2}\left(180^o-\widehat{FDB}-\widehat{EDC}\right)+\widehat{EDC}\)
\(=90^o-\frac{\widehat{FDB}}{2}+\frac{\widehat{EDC}}{2}=90^o-\frac{90^o-\widehat{B_1}}{2}+\frac{90^o-\widehat{C_1}}{2}\)
\(=90^o+\frac{\widehat{ABC}}{4}-\frac{\widehat{ACB}}{4}\)
\(\Rightarrow\widehat{IMC}=\widehat{PDC}\Rightarrow IM//ND\)
b) Theo câu a suy ra \(\widehat{MID}=\widehat{IDP}\)
Mà \(\Delta PID\)cân tại I ( do IP = ID ) nên \(\widehat{IPD}=\widehat{IDP}\)
Suy ra \(\widehat{MID}=\widehat{IPD}=\widehat{QPN}\)
\(\Rightarrow\Delta IDM\approx\Delta PQN\left(g.g\right)\)
c) từ câu b \(\Rightarrow\frac{IM}{PN}=\frac{ID}{PQ}=\frac{IP}{PQ}\)( 1 )
Theo hệ thức lượng, ta có : \(IQ.IA=IE^2=IP^2\)
Do đó : \(\frac{QP}{IP}=1-\frac{IQ}{IP}=1-\frac{IP}{IA}=\frac{PA}{IA}\)
Suy ra \(\frac{IP}{QP}=\frac{IA}{PA}\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\frac{IM}{PN}=\frac{IA}{PA}\)kết hợp với IM // PN suy ra A,M,N thẳng hàng
gọi AB giao ( T ) tại K
có AD là tia phân giác của BAC => sđ cung KD = sđ MD
mà PBE = 1/2 ( sđ MD - sđ PD) =1/2 ( sđ KD-sđ PD ) =1/2 sđ KP = BAE
khi CM đc tam giác ABE ~ tam giác BPE ( g - g)
=> BE2 = EP.EA
gọi AB giao (T) tại K
Có AD là tia phân giác của BAC =>sđ cung KD= sđ MD
Mà PBE =1/2(sđMD-sđPD)=1/2(sđKD-sđPD)=1/2sđKP=BA
Ta CM được : tam giác ABE~tam giác BPE(g.g)
=>BE^2=EP.EA