1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= \(\frac{\left(x+16\right)\left(x+9\right)}{x}\) với x>0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
SN
2
18 tháng 8 2019
Ta có : \(A=\frac{x^2+25x+144}{x}=x+\frac{144}{x}+25\)
Các số dương \(x\)và \(\frac{144}{x}\)Có tích ko đổi nên tổng nhỏ nhất khi và chỉ khi \(x=\frac{144}{x}\)
\(\Rightarrow x=12\)
Vậy \(Min\)\(A=49\Leftrightarrow x=12\)
18 tháng 8 2019
Ta có:
\(A=\frac{\left(x+16\right)\left(x+19\right)}{x}\)
\(=\frac{x^2+25x+144}{x}=\frac{\left(x+12,5\right)^2-12,25}{x}\)
\(=\frac{\left(x+12,5\right)^2}{x}-\frac{12,25}{x}\ge\frac{-12,5}{x}\forall x>0\)
Đến đây dễ rồi bạn tự làm nốt !
12 tháng 3 2020
\(A=\frac{\left(x+16\right)\left(x+9\right)}{x}=\frac{x^2+25x+144}{x}\)
\(=x+25+\frac{144}{x}\)
Có x > 0, Áp dụng BĐT Cô-si với hai số x và 144/x
\(x+\frac{144}{x}\ge2.\sqrt{x.\frac{144}{x}}=24\)
\(\Leftrightarrow x+25+\frac{144}{x}\ge24+25=49\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{144}{x}\Leftrightarrow x^2=144\Leftrightarrow x=12\)
Vậy \(Min_A=49\Leftrightarrow x=12\)
22 tháng 8 2017
Bđt phụ \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\forall\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+2ab+b^2\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab=\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
Áp dụng ta được :
\(A\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{\left(1+4\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy \(A_{min}=\frac{25}{2}\) tại \(x=y=\frac{1}{2}\)
14 tháng 1 2021
Áp dụng bđt: a2 + b2 > = (a + b)2/2
Cm đúng <=> 2a2 + 2b2 - a2 - 2ab - b2 > = 0
<=> (a - b)2 > = 0 (luôn đúng với mọi a,b
Khi đó, ta có: A = \(\left(1+\frac{1}{x}\right)^2+\left(1+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
Áp dụng bđt: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
CM đúng <=> (a + b)2 > = 4ab
<=> (a - b)2 > = 0 (luôn đúng với mọi a,b)
Ta lại có: A \(\ge\frac{\left(2+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{\left(2+\frac{4}{1}\right)^2}{2}=18\)
Dấu"=" xảy ra <=> x = y = 1/2
Vậy minA = 18/ <=> x = y = 1/2
LV
0
30 tháng 12 2018
\(B=\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\left(1-\frac{1}{y^2}\right)\)
\(=\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1-\frac{1}{y}\right)\)
\(=\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\cdot\frac{x-1}{x}\cdot\frac{y-1}{y}\)
\(=\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\cdot\frac{\left(-x\right)\left(-y\right)}{xy}\)
\(=\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\)
\(=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}=1+\frac{x+y}{xy}+\frac{1}{xy}\)
\(=1+\frac{2}{xy}\ge1+\frac{2}{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}=1+\frac{2}{\frac{1}{4}}=1+8=9\)
Vậy GTNN của B = 9 khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
16 tháng 3 2021
\(Q=\frac{x^3}{4\left(y+2\right)}+\frac{y^3}{4\left(x+2\right)}=\frac{x^3\left(x+2\right)}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}+\frac{y^3\left(y+2\right)}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}\)
\(=\frac{x^4+y^4+2x^3+2y^3}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}=\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{4\left(xy+2x+2y+4\right)}\)
\(=\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{4\left(2x+2y+8\right)}=\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{8\left(x+y+4\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(x^4+y^4\ge2\sqrt{x^4y^4}=2x^2y^2\)
\(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\)
\(Q=\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{8\left(x+y+4\right)}\ge\frac{2x^2y^2+2xy\left(x+y\right)}{8\left(x+y+4\right)}=\frac{2xy\left(xy+x+y\right)}{8\left(x+y+4\right)}=\frac{8\left(x+y+4\right)}{8\left(x+y+4\right)}=1\)
Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x,y>0\\x=y\\xy=4\end{cases}}\Rightarrow x=y=2\)
Vậy GTNN của Q là 1 <=> x = y = 2
KN
17 tháng 3 2021
Or
\(Q-1=\frac{\left(x^2-y^2\right)^2+2\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-8\right)}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}\ge0\)*đúng do \(x^2+y^2\ge2xy=8\)*
Do đó \(Q\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 2
11 tháng 3 2020
Làm tiếp ạ
\(\Rightarrow P\ge\frac{289}{16}\)
Dấu"="Xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy MIN P=\(\frac{289}{16}\)\(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
11 tháng 3 2020
Em chả có cách gì ngoài cô si mù mịt :v
\(\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)
\(=\left(x^2+\frac{1}{16y^2}+\frac{1}{16y^2}+.....+\frac{1}{16y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{16x^2}+\frac{1}{16x^2}+.....+\frac{1}{16x^2}\right)\)
\(\ge17\sqrt[17]{\frac{x^2}{16^{16}\cdot y^{32}}}\cdot17\sqrt[17]{\frac{y^2}{16^{16}\cdot x^{32}}}\)
\(=17^2\sqrt[17]{\frac{x^2y^2}{16^{32}\cdot x^{32}\cdot y^{32}}}\)
\(=17^2\sqrt[17]{\frac{1}{16^{32}\cdot\left(xy\right)^{30}}}\)
\(\ge17^2\sqrt[17]{\frac{1}{16^{32}\left(\frac{x+y}{2}\right)^{60}}}=\frac{289}{16}\)
Dấu "=" xảy ra tại x=y=1/2
Ta có: \(A=\frac{x^2+25x+144}{x}=x+\frac{144}{x}+25\)
Các số dương : x và \(\frac{144}{x}\) có tích k đổi nên tổng nhỏ nhất và chỉ khi \(x=\frac{144}{x}\)=> x=12
Vậy Min A = 49 khi và chỉ khi x=12
\(A=\frac{\left(x+16\right)\left(x+9\right)}{x}=\frac{x^2+25x+144}{x}=x+25+\frac{144}{x}\)
Vì \(x>0\)\(\Rightarrow\) Áp dụng bđt Cô si ta có:
\(x+\frac{144}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{144}{x}}=2.\sqrt{144}=2.12=24\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{144}{x}\)\(\Leftrightarrow x^2=144\)\(\Leftrightarrow x=12\)( do \(x>0\))
\(\Rightarrow A\ge25+24=49\)
Vậy \(minA=49\)\(\Leftrightarrow x=12\)