Question

[Hiền Anh]

Cho hình thang ABCD (AB//CD),AC cắt BD tại O.Từ O kẻ đường thẳng // AB cắt AD,BC tại I,K.

Cminh: AI/AD=BK/BC

b) O là trung điểm IK

MỌI NGƯỜI GIÚP MÌNH NHAAA

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Xét ΔAOB và ΔCOD có 

\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)(hai góc đối đỉnh)

\(\widehat{BAO}=\widehat{DCO}\)(hai góc so le trong, AB//DC)

Do đó: ΔAOB∼ΔCOD(g-g)

⇒\(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)(1)

Xét ΔADC có 

I∈AD(gt)

O∈AC(gt)

IO//DC(gt)

Do đó: \(\dfrac{AI}{ID}=\dfrac{AO}{OC}\)(Định lí Ta lét)(2)

Xét ΔBDC có 

O∈BD(gt)

K∈BC(gt)

OK//CD(gt)

Do đó: \(\dfrac{BK}{KC}=\dfrac{BO}{OD}\)(Định lí Ta Lét)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{AI}{ID}=\dfrac{BK}{KC}\)

⇒\(\dfrac{AI}{BK}=\dfrac{ID}{KC}\)

Ta có: I nằm giữa A và D(gt)

nên AI+ID=AD

Ta có: K nằm giữa B và C(gt)

nên KB+KC=BC

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{AI}{BK}=\dfrac{ID}{KC}=\dfrac{AI+ID}{BK+KC}=\dfrac{AD}{BC}\)

Do đó: 

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AI}{BK}=\dfrac{AD}{BC}\\\dfrac{ID}{KC}=\dfrac{AD}{BC}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AI}{AD}=\dfrac{BK}{BC}\\\dfrac{ID}{AD}=\dfrac{KC}{BC}\end{matrix}\right.\)(đpcm)(6)

b) Xét ΔADC có 

I∈AD(gt)

O∈AC(gt)

IO//DC(gt)

Do đó: \(\dfrac{AI}{AD}=\dfrac{IO}{DC}\)(Hệ quả của Định lí Ta lét)(4)

Xét ΔBDC có 

O∈BD(gt)

K∈BC(gt)

OK//DC(gt)

Do đó: \(\dfrac{BK}{BC}=\dfrac{OK}{DC}\)(Hệ quả của Định lí Ta lét)(5)

Từ (4), (5) và (6) suy ra \(\dfrac{OI}{DC}=\dfrac{OK}{DC}\)

⇒OI=OK

mà I,O,K thẳng hàng(gt)

nên O là trung điểm của IK(đpcm)