Question

[Lê Bảo]

Cho đường tròn (O, R) và các tiếp tuyến AB, AC cắt nhau tại A nằm ngoài đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của BC và OA.

a, C/m OA vuông góc với BC và OH.OA= R²

b, Kẻ đường kính BD và đường thẳng CK vuông góc với BD tại K. C/m OA//CD và AC.CD=CK.AO

c, Gọi I là giao điểm của AD và CK. C/m tam giác BIK và tam giác CHK có diện tích bằng nhau

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Xét (O) có 

AB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

AC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)

Do đó: AB=AC(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: AB=AC(cmt)

nên A nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: OB=OC(=R)

nên O nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC

hay OA⊥BC(đpcm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao ứng với cạnh huyền OA, ta được: 

\(OH\cdot OA=OB^2\)

mà OB=R(B∈(O))

nên \(OH\cdot OA=R^2\)(đpcm)

b) Xét (O) có 

ΔBCD nội tiếp đường tròn(B,C,D∈(O))

BD là đường kính của (O)

Do đó: ΔBCD vuông tại C(Định lí)

⇒BC⊥CD tại C

Ta có: BC⊥CD(cmt)

BC⊥OA(cmt)

Do đó: OA//CD(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)