K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

1 tháng 1 2021

Thiếu điều kiện r sao làm đây

4 tháng 1 2021
Đây là bài toán lớp mấy vậy ??.
NV
27 tháng 6 2020

\(\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\ge\sqrt{\left(\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\right)^2}=\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+\sqrt{2020a+bc}}\le\frac{a}{a+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

Tương tự: \(\frac{b}{b+\sqrt{2020b+ca}}\le\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\) ; \(\frac{c}{c+\sqrt{2020c+ab}}\le\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

Cộng vế với vế: \(P\le1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=...\)

31 tháng 3 2017

Ta có:

\(P=\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}+\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{b+ca}}\)

\(=\frac{ab}{\sqrt{1-a-b+ab}}+\frac{bc}{\sqrt{1-b-c+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{1-a-c+ca}}\)

\(=\frac{ab}{\sqrt{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}}+\frac{bc}{\sqrt{\left(1-b\right)\left(1-c\right)}}+\frac{ca}{\sqrt{\left(1-c\right)\left(1-a\right)}}\)

\(\le\frac{a^2}{2\left(1-a\right)}+\frac{b^2}{2\left(1-b\right)}+\frac{b^2}{2\left(1-b\right)}+\frac{c^2}{2\left(1-c\right)}+\frac{c^2}{2\left(1-c\right)}+\frac{a^2}{2\left(1-a\right)}\)

\(=-\left(\frac{a^2}{a-1}+\frac{b^2}{b-1}+\frac{c^2}{c-1}\right)\)

\(\le-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c-3}=\frac{1}{3-1}=\frac{1}{2}\)

Vậy GTLN là  \(P=\frac{1}{2}\) khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

31 tháng 3 2017

Biến đổi một chút, ta có:\(\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}}\)

\(=\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}\cdot\sqrt{\frac{bc}{c+a}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}\right)\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta có: 

\(\frac{ca}{\sqrt{b+ca}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ca}{a+b}+\frac{ca}{b+c}\right);\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{a+b}\right)\)

Cộng ba bất đẳng thức trên lại theo vế, ta có:

\(\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{b+ca}}+\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}\le\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{2}\)
 

25 tháng 5 2018

\(c+ab=\left(a+b+c\right)c+ab=ac+cb+c^2+ab=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)

Tương tự : \(a+bc=\left(a+b\right)\left(a+c\right);c+ab=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)

\(P=\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}\)

áp dụng bất đẳng tức cauchy :

\(\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}\right)\)

\(\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)\)

\(\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{b+c}+\frac{a}{b+a}\right)\)

cộng vế theo vế 

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{c+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{b+a}\right)\)

\(\Leftrightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a+c}{a+c}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{a+b}{a+b}\right)=\frac{1}{2}\cdot3=\frac{3}{2}\)

dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1/3

24 tháng 8 2020

Có a+b+c=1 => c=(a+b+c).c=ac+bc+c2

\(\Rightarrow c+ab=ac+bc+c^2+ab=a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)=\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{\frac{a}{c+b}+\frac{b}{c+b}}{2}\)

Tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}a+bc=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\\b+ac=\left(b+a\right)\left(b+c\right)\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}=\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}}{2}\\\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}=\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}\le\frac{\frac{c}{b+c}+\frac{a}{b+a}}{2}\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow P\le\frac{\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}}{2}\)\(=\frac{\frac{a+c}{a+c}+\frac{c+b}{c+b}+\frac{a+b}{a+b}}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

10 tháng 1 2020

tham khảo

https://olm.vn/hoi-dap/detail/106887527253.html

18 tháng 4 2016

 Ta có : \(\sqrt{\frac{ab}{ab+2c}}=\sqrt{\frac{ab}{ab+\left(a+b+c\right)c}}=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\)

Tương tự ta cũng có 

           \(\sqrt{\frac{bc}{bc+2a}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}\right);\sqrt{\frac{ca}{ca+2b}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+b}\right)\)

Cộng các vế ta được \(S\le\frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)

Vậy \(S_{max}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)

29 tháng 7 2020

Ta có: \(a+b+c=1\Leftrightarrow a^2+ab+ca=a\)

Thay vào ta có: \(\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}=\sqrt{\frac{bc}{a^2+ab+ca+bc}}=\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)

Áp dụng Cauchy ngược: \(\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}=\sqrt{\frac{bc}{a^2+ab+ca+bc}}\le\frac{\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}}{2}\)

Tương tự ta CM được: \(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}\le\frac{\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}}{2}\)

                                     \(\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}\le\frac{\frac{c}{b+c}+\frac{a}{b+a}}{2}\)

Cộng vế 3 BĐT trên ta được:

\(P\le\frac{\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{b+a}}{2}\)

\(=\frac{\left(\frac{a}{c+a}+\frac{c}{a+c}\right)+\left(\frac{b}{c+b}+\frac{c}{b+c}\right)+\left(\frac{a}{b+a}+\frac{b}{a+b}\right)}{2}\)

\(=\frac{1+1+1}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Vậy \(Max_P=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

29 tháng 7 2020

Ta có :

\(c+ab=\left(a+b+c\right)c+ab=ac+ac+c^2+ab=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)

Tương tự :  \(a+bc=\left(a+b\right)\left(a+c\right);c+ab=\left(c+b\right)\left(c+a\right)\)

 \(\Rightarrow P=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)

Áp dụng BĐT cauchy :

\(\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\right)\)

\(\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)\)

\(\sqrt{\frac{ca}{\left(c+b\right)\left(c+a\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+b}+\frac{a}{c+a}\right)\)

Cộng vế với vế :

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}+\frac{c}{c+b}+\frac{a}{c+a}\right)\)

\(\Leftrightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a+c}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{a+b}{a+b}\right)=\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 10 2020

Thông thường sẽ tính ra giá trị $T$ cụ thể nhưng bài này thì với $a,b,c$ khác nhau thì giá trị $T$ cũng khác nhau.

Bạn xem lại đề xem có gõ nhầm chỗ nào không?

23 tháng 8 2020

Bài 1: Ta có \(\left(\frac{a^2}{b}-a+b\right)+b^2=\frac{a^2-ab+b^2}{b}+b\ge2\sqrt{a^2-ab+b^2}\)  (áp dụng Bất Đẳng Thức Cosi)

\(=\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2+\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}\ge\sqrt{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{2}\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{b}-a+2b\ge\sqrt{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{2}\left(a+b\right)\left(1\right)\)

Tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}\frac{b^2}{c}-b+2c\ge\sqrt{b^2-bc+c^2}+\frac{1}{2}\left(b+c\right)\left(2\right)\\\frac{c^2}{a}-c+2a\ge\sqrt{c^2-ac+a^2}+\frac{1}{2}\left(a+c\right)\left(3\right)\end{cases}}\)

Từ (1) và (2) và (3) \(\Rightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ac+a^2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

13 tháng 7 2019

Cần chứng minh: \(\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)\)

Thật vậy: \(\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow4\left(a^2-ab+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4a^2-4ab+4b^2-a^2-b^2-2ab\ge0\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge0\Leftrightarrow3\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)

Áp dụng:\(P=\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ac+a^2}}\)

\(\le\frac{1}{\frac{1}{2}\left(a+b\right)}+\frac{1}{\frac{1}{2}\left(b+c\right)}+\frac{1}{\frac{1}{2}\left(c+a\right)}=2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)=3\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=1\)

13 tháng 6 2016

Cách 1:

Ta có: \(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}\right)\)

Tương tự với \(\sqrt{\frac{bc}{a+bc}},\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}\)rồi cộng các vế lại với nhau ta sẽ có

\(P\le\frac{3}{2}\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Vậy....

13 tháng 6 2016

Trả lời đi huhu