Cho x,y,z >0 / x^2 +y^2 +z^3 =3.,
Tìm max P= x/ (x^2 +2y+3) + y/(y^2 +2z+3) +z/(z^2 + 2x +3)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
31 tháng 1 2022
\(\text{Cho:}x^2+y^2+z^2=1\text{.Chứng minh rằng:}\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{z+2y}\ge\frac{1}{3}\)
\(\text{Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số dương, ta có:}\)
\(\frac{9x^3}{y+2z}+x\left(y+2z\right)\ge6x^2;\frac{9y^3}{z+2x}+y\left(z+2x\right)\ge6y^2;\frac{9z^3}{x+2y}+z\left(x+2y\right)\ge6z^3\)
\(\text{Lại có:}\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\text{Do đó:}\frac{9x^3}{y+2z}+\frac{9y^3}{z+2x}+\frac{9z^3}{x+2y}+3\left(xy+yz+zx\right)\ge6\left(x^2+y^2+x^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{9x^3}{y+2z}+\frac{9y^3}{z+2x}+\frac{9z^3}{x+2y}\ge6\left(x^2+y^2+z^2\right)-3\left(xy+yz+zx\right)\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{3}=\frac{1}{3}\)
\(\text{Dấu "=" xảy ra }\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
VQ
31 tháng 1 2022
cho minh hoi phan bat dang thuc cosi la ban dung cong thuc the nao ak
2 tháng 3 2023
`P=x^3/(x+y)+y^3/(y+z)+z^3/(z+x)`
`=x^4/(x^2+xy)+y^4/(y^2+yz)+z^4/(z^2+zx)`
Ad bđt cosi-swart:
`P>=(x^2+y^2+z^2)^2/(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)`
Mà `xy+yz+zx<=x^2+y^2+z^2)`
`=>P>=(x^2+y^2+z^2)^2/(2(x^2+y^2+z^2))=(x^2+y^2+z^2)/2=3/2`
Dấu "=" xảy ra khi `x=y=z=1`
`Q=(x^3+y^3)/(x+2y)+(y^3+z^3)/(y+2z)+(z^3+x^3)/(z+2x)`
`Q=(x^3/(x+2y)+y^3/(y+2z)+z^3/(z+2x))+(y^3/(x+2y)+z^3/(y+2z)+x^3/(z+2x))`
`Q=(x^4/(x^2+2xy)+y^4/(y^2+2yz)+z^4/(z^2+2zx))+(y^4/(xy+2y^2)+z^4/(yz+2z^4)+x^4/(xz+2x^2))`
Áp dụng BĐT cosi-swart ta có:
`Q>=(x^2+y^2+z^2)^2/(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx)+(x^2+y^2+z^2)^2/(2(x^2+y^2+z^2)+xy+yz+zx))`
Mà`xy+yz+zx<=x^2+y^2+z^2`
`=>Q>=(x^2+y^2+z^2)^2/(3(x^2+y^2+z^2))+(x^2+y^2+z^2)^2/(3(x^2+y^2+z^2))=(2(x^2+y^2+z^2)^2)/(3(x^2+y^2+z^2))=(2(x^2+y^2+z^2))/3=2`
Dấu "=" xảy ra khi `x=y=z=1.`
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 10 2020
\(\frac{P}{\sqrt{6}}=\sum\frac{1}{\sqrt{6}}.\frac{1}{\sqrt{2x^2+y^2+3}}\le\frac{1}{2}\sum\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{2x^2+y^2+3}\right)\)
\(\frac{P}{\sqrt{6}}\le\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\sum\frac{1}{2\left(x^2+1\right)+\left(y^2+1\right)}\le\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\sum\frac{1}{4x+2y}\)
\(\frac{P}{\sqrt{6}}\le\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\sum\frac{1}{x+x+y}\le\frac{1}{4}+\frac{1}{36}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}+\frac{2}{z}+\frac{1}{x}\right)\)
\(\frac{P}{\sqrt{6}}\le\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{\sqrt{6}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
CQ
1
14 tháng 8 2021
Ta có:\(\dfrac{x^2}{x+2y^3}=\dfrac{x\left(x+2y^3\right)-2xy^3}{x+2y^3}=x-\dfrac{2xy^3}{x+2y^3}=x-\dfrac{2xy^3}{x+y^3+y^3}\)
\(\ge x-\dfrac{2xy^3}{3\sqrt[3]{xy^6}}=x-\dfrac{2}{3}.\sqrt[3]{\dfrac{x^3y^9}{xy^6}}=x-\dfrac{2}{3}.y\sqrt[3]{x^2}\)
\(\Rightarrow P\ge\left(x+y+z\right)-\dfrac{2}{3}.\left(y\sqrt[3]{x^2}+z\sqrt[3]{y^2}+x\sqrt[3]{z^2}\right)\)
Ta có:\(y\sqrt[3]{x^2}=y\sqrt[3]{x.x.1}\le y.\dfrac{\left(x+x+1\right)}{3}=\dfrac{2}{3}.xy+\dfrac{y}{3}\)
\(\Rightarrow P\ge\left(x+y+z\right)-\dfrac{2}{3}\left[\dfrac{2}{3}\left(xy+yz+zx\right)+\dfrac{x+y+z}{3}\right]\)
\(\ge\left(x+y+z\right)-\dfrac{2}{3}\left[\dfrac{2}{3}.\dfrac{\left(x+y+z\right)^3}{3}+\dfrac{z+y+z}{3}\right]\)
\(=3-\dfrac{2}{3}\left[\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3^3}{3}+\dfrac{3}{3}\right]=3-\dfrac{2}{3}.3=1\)
Dấu "=" xảy ra ⇔ x=y=z=1
3 tháng 5 2018
\(A=\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}\)
\(=\frac{x^4}{xy+2zx}+\frac{y^4}{yz+2xy}+\frac{z^4}{zx+2yz}\)
\(\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{3}=\frac{1}{3}\)
T
26 tháng 10 2019
Bài này dùng Cauchy ngược dấu:
\(\Sigma\frac{2x^2}{x+y^2}=\Sigma\frac{2x\left(x+y^2\right)-2xy^2}{x+y^2}=2\left(x+y+z\right)-2.\Sigma\frac{xy^2}{x+y^2}\)
Từ đây ta có thể quy bđt vế chứng minh: \(\Sigma\frac{xy^2}{x+y^2}\le\frac{x+y+z}{2}\)
Ta có: \(VT\le\Sigma\frac{xy^2}{2\sqrt{xy^2}}=\Sigma\frac{\sqrt{xy.y}}{2}\le\frac{xy+yz+zx+x+y+z}{4}\)
Như vậy cần chứng minh: \(xy+yz+zx\le x+y+z\)
Ta có: \(VT=\sqrt{\left(xy+yz+zx\right)^2}\le\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)}=\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}\le x+y+z\)
Từ đây có đpcm:)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 9 2024
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$\frac{x^3}{(y+2z)^2}+\frac{y+2z}{27}+\frac{y+2z}{27}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^3}{(y+2z)^2}.\frac{y+2z}{27}.\frac{y+2z}{27}}=\frac{x}{3}$
$\frac{y^3}{(z+2x)^2}+\frac{z+2x}{27}+\frac{z+2x}{27}\geq \frac{y}{3}$
$\frac{z^3}{(x+2y)^2}+\frac{x+2y}{27}+\frac{x+2y}{27}\geq \frac{z}{3}$
Cộng theo vế các BĐT trên và thu gọn thì:
$\sum \frac{x^3}{(y+2z)^2}+\frac{x+y+z}{9}\geq \frac{x+y+z}{3}$
$\Rightarrow \sum \frac{x^3}{(y+2z)^2}\geq \frac{2}{9}(x+y+z)$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$