Tìm các số dương x,y,z biết (x+2y)/3=(y+2z)/4=(z+2x)/5
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LT
0
NN
1
25 tháng 7 2018
Đặt \(\hept{\begin{cases}2x+y+z=4a\\2y+x+z=4b\\2z+x+y=4c\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=3a-b-c\\y=3b-c-a\\z=3c-a-b\end{cases}}\)thay vào biểu thức đó
\(\Rightarrow\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{2y+x+z}+\frac{z}{2z+x+y}\)
\(=\frac{3a-b-c}{4a}+\frac{3b-c-a}{4b}+\frac{3c-a-b}{4c}\)
\(=\frac{3}{4}-\frac{b-c}{4a}+\frac{3}{4}-\frac{c-a}{4b}+\frac{3}{4}-\frac{a-b}{4c}\)
\(=\frac{9}{4}-\frac{1}{4}\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)\)
Áp dụng BĐT sau: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\Rightarrow\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\ge6\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)\ge\frac{6}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{9}{4}-\frac{1}{4}\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)\le\frac{3}{4}\)
Từ đó ta có: \(\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{2y+x+z}+\frac{z}{2z+x+y}\le\frac{3}{4}\)(đpcm).
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z.
M
1
19 tháng 7 2020
Theo Cauchy Schwarz:
\(\frac{x}{2x+y+z}=\frac{x}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\)
Tương tự:
\(\frac{y}{2y+z+x}\le\frac{1}{4}\left(\frac{y}{y+x}+\frac{y}{y+z}\right);\frac{z}{2z+y+x}\le\frac{1}{4}\left(\frac{z}{z+y}+\frac{z}{z+x}\right)\)
Cộng lại:
\(D\le\frac{3}{4}\left(đpcm\right)\)
LH
1
G
9 tháng 3 2019
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:
\(\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{2y+x+z}+\frac{z}{2z+x+y}\)
\(=\frac{x}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\frac{y}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}+\frac{z}{\left(y+z\right)+\left(x+z\right)}\)
\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{y+z}+\frac{z}{x+z}\right)=\frac{3}{4}\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z\)
HP
16 tháng 1 2021
Áp dụng BĐT BSC:
\(F=\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\)
\(\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z}\right)\)
\(=\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{4}{z}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{1}{4}.4=1\)
\(maxF=1\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{3}{4}\)