Cho (P): y= \(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+2\) Tìm m để (P) cắt trục hoành sao cho:
A=\(\sqrt{2\left(x_1^2+x^2_2\right)+16}-3x_1x_2\) đạt GTLN
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Em kiểm tra lại đề, đề bài sai
Ví dụ với \(m=0\) thì (d) là \(y=2x-3\), khi đó pt hoành độ giao điểm (P) và (d) là \(x^2=2x-3\Leftrightarrow x^2-2x+3=0\) vô nghiệm nên (d) và (P) ko có điểm chung
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là :
\(x^3-2x^2+\left(1-m\right)x+m=0\left(1\right)\)
Biến đổi tương đương phương trình này :
\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^3-2x^2+x-mx+m=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x^2-2x+1\right)-m\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2-x-m\right)=0\Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x^2-x-m=0\left(2\right)\)
Gọi \(x_1,x_2\) là nghiệm của phương trình (2) thì :
\(t^2+x_1^2+x_2^2< 4\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2< 3\Leftrightarrow m< 1\) (*)
Yêu cầu bài toán tương đương với (2) có hai nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\ne1\) thỏa mãn điều kiện (*)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta=1+4m>0\\1^2-1-m\ne0\\m< 1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}-\frac{1}{4}< m< 1\\m\ne0\end{cases}\)
\(\Delta=1-4m>0\Rightarrow m< \frac{1}{4}\)
Theo Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-1\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)
\(A=x_1^3+x_2^3+x_1^2+x_2^2\)
\(A=\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)+\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)
\(A=-1+3m+1-2m\)
\(A=m\)
Mà \(m< \frac{1}{4}\Rightarrow A_{max}\) ko tồn tại
Vấn đề là ở chỗ đề yêu cầu 2 nghiệm "phân biệt"
Phương trình hoành độ giao điểm là:
\(x^2+mx+\left(m+1\right)^2=-x^2-\left(m+2\right)x-2\left(m+1\right)\)
=>\(x^2+mx+\left(m+1\right)^2+x^2+\left(m+2\right)x+2\left(m+1\right)=0\)
=>\(2x^2+\left(2m+2\right)x+2\left(m+1\right)+\left(m+1\right)^2=0\)
=>\(2x^2+\left(2m+2\right)x+\left(m^2+4m+3\right)=0\)
\(\text{Δ}=\left(2m+2\right)^2-4\cdot2\cdot\left(m^2+4m+3\right)\)
\(=4m^2+8m+4-8m^2-32m-24\)
\(=-4m^2-24m-20\)
\(=-4\left(m^2+6m+5\right)=-4\left(m+1\right)\left(m+5\right)\)
Để (P1) cắt (P2) tại hai điểm phân biệt thì Δ>0
=>\(-4\left(m+1\right)\left(m+5\right)>0\)
=>\(\left(m+1\right)\left(m+5\right)< 0\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}m+1>0\\m+5< 0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\m< -5\end{matrix}\right.\)
=>Loại
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}m+1< 0\\m+5>0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m< -1\\m>-5\end{matrix}\right.\)
=>-5<m<-1
Theo Vi-et, ta có: \(x_1+x_2=\dfrac{-\left(2m+2\right)}{2}=-m-1;x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m^2+4m+3}{2}\)
\(P=\left|x_1x_2-3\left(x_1+x_2\right)\right|\)
\(=\left|\dfrac{m^2+4m+3}{2}-3\left(-m-1\right)\right|\)
\(=\left|\dfrac{m^2+4m+3}{2}+3m+3\right|\)
\(=\dfrac{\left|m^2+4m+3+6m+6\right|}{2}=\dfrac{\left|m^2+10m+9\right|}{2}\)
Biểu thức này không có giá trị lớn nhất nha bạn
vậy biểu thức này có tìm GTNN được không ạ?
nếu tìm được thì mong bạn giải giùm cho mình được không ạ???
Lời giải:
PT hoành độ giao điểm:
$x^2-(2x+2m-1)=0$
$\Leftrightarrow x^2-2x+(1-2m)=0(*)$
Để $(P)$ và $(d)$ cắt nhau tại 2 điểm pb có hoành độ $x_1,x_2$ thì pt $(*)$ có 2 nghiệm pb $x_1,x_2$
Điều này xảy ra khi $\Delta'=1-(1-2m)=2m>0\Leftrightarrow m>0$
Theo định lý Viet:
$x_1+x_2=2$
$x_1x_2=1-2m$
Khi đó:
$x_2^2(x_1^2-1)+x_1^2(x_2^2-1)=8$
$\Leftrightarrow 2(x_1x_2)^2-(x_1^2+x_2^2)=8$
$\Leftrightarrow 2(x_1x_2)^2-[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]=8$
$\Leftrightarrow 2(1-2m)^2-[2^2-2(1-2m)]=8$
$\Leftrightarrow 8m^2-12m=8$
$\Leftrightarrow 2m^2-3m-2=0$
$\Leftrightarrow (m-2)(2m+1)=0$
$\Leftrightarrow m=2$ hoặc $m=\frac{-1}{2}$
Vì $m>0$ nên $m=2$
a: Khi m=-5 thì y=2(-5+1)x-(-5)+4
=>y=-8x+9
PTHĐGĐ là:
x^2+8x-9=0
=>(x+9)(x-1)=0
=>x=1 hoặc x=-9
=>y=1 hoặc y=81
b: \(A=\left|x_1-x_2\right|=\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\)
\(=\sqrt{\left(2m+2\right)^2-4\left(m-4\right)}\)
\(=\sqrt{4m^2+8m+4-4m+16}\)
\(=\sqrt{4m^2+4m+20}\)
\(=\sqrt{\left(2m+1\right)^2+19}>=\sqrt{19}\)
Dấu = xảy ra khi m=-1/2
\(ac=-6< 0\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm trái dấu
Theo Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=1-m\\x_1x_2=-6\end{matrix}\right.\)
\(B=\left(x_1-3\right)\left(x_1+3\right)\left(x_2-2\right)\left(x_2+2\right)\)
\(=\left(x_1-3\right)\left(x_2-2\right)\left(x_1+3\right)\left(x_2+2\right)\)
\(=\left(x_1x_2-2x_1-3x_2+6\right)\left(x_1x_2+2x_1+3x_2+6\right)\)
\(=-\left(2x_1+3x_2\right)\left(2x_1+3x_2\right)=-\left(2x_1+3x_2\right)^2\le0\)
\(\Rightarrow B_{max}=0\) khi \(2x_1+3x_2=0\)
Kết hợp Viet ta được hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=1-m\\2x_1+3x_2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=3-3m\\x_2=2m-2\end{matrix}\right.\)
Mà \(x_1x_2=-6\Leftrightarrow\left(3-3m\right)\left(2m-2\right)=-6\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=2\end{matrix}\right.\)
Làm ơn giúp mik với đi ạ
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+2=0\)
\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m^2+2\right)=2m-1\ge0\Rightarrow m\ge\dfrac{1}{2}\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=m^2+2\end{matrix}\right.\)
\(A=\sqrt{2\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2+16}-3x_1x_2\)
\(A=\sqrt{8\left(m+1\right)^2-4\left(m^2+2\right)+16}-3\left(m^2+2\right)\)
\(A=\sqrt{4m^2+16m+16}-3\left(m^2+2\right)\)
\(A=2m+4-3\left(m^2+2\right)\)
\(A=-3m^2+2m-2=-3m^2+2m-\dfrac{1}{4}-\dfrac{7}{4}\)
\(A=\left(\dfrac{1}{2}-m\right)\left(3m+\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{7}{4}\le-\dfrac{7}{4}\)
\(A_{max}=-\dfrac{7}{4}\) khi \(m=\dfrac{1}{2}\)