Question

[Pham Trong Bach]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left(0;1;1\right),B\left(3;0;-1\right),C\left(0;21;-19\right)$ và mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-1\right)}^1=1.M\left(a,b,c\right)$ là điểm thuộc mặt cầu $\left(S\right)$sao cho biểu thức $T=3M{A}^2+2M{B}^2+M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng $a+b+c.$ 

A. $a+b+c=\frac{14}{5}$

B. $a+b+c=0$

C. $a+b+c=\frac{12}{5}$

D.  $a+b+c=12$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án A

Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1). Gọi E là điểm thoả 3 E A → + 2 E B → + E C → = 0 →     ⇒   E ( 1 ; 4 ; − 3 ) .  T = 6 M E 2 + 3 E A 2 + 2 E B 2 + E C 2

T nhỏ nhất khi ME nhỏ nhất ⇔ M là 1 trong 2 giao điểm của đường thẳng IE và mặt cầu (S).

I E → = ( 0 ; 3 ; − 4 ) ,  E M → = ( a − 1 ; b − 4 ; c + 3 )

I E → , M E →  cùng phương  ⇔ E M → = k I E → ⇔ a − 1 = 0 b − 4 = 3 k c + 3 = − 4 k ⇔ a = 1 b = 3 k + 4 c = − 4 k − 3

M ∈ ( S ) ⇒ ( 3 k + 3 ) 2 + ( − 4 k − 4 ) 2 = 1 ⇔ k = − 4 5 k = − 6 5

k = − 4 5 ⇒ M 1 1 ; 8 5 ; 1 5 ⇒ E M 1 = 208 5

k = − 6 5 ⇒ M 2 1 ; 2 5 ; 9 5 ⇒ E M 2 = 6 > E M 1  (Loại)

Vậy  M 1 ; 8 5 ; 1 5