Phát biểu điều kiện để một tứ giác nội tiếp được đường tròn.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PT
1
CM
22 tháng 1 2018
Một tứ giác nội tiếp được đường tròn nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
+ Tổng của hai góc đối diện bằng 180o.
+ Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
+ Hai đỉnh kề cùng nhình cạnh nối hai đỉnh còn lại dưới góc bằng nhau.
+ Bốn đỉnh cách đều một điểm cố định.
1 tháng 6 2017
Câu a:
Vì ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O) mà AB là đường kính nên \(\widehat{ACB}=\widehat{ADB}=90^0\)Nên hai tam giác \(\Delta ACB;\Delta ADB\)Vuông tại C và D . áp dụng pitago cho hai tam giác vuông:
\(\hept{\begin{cases}AC^2+BC^2=AB^2\\AD^2+BD^2=AB^2\end{cases}\Leftrightarrow AC^2+BC^2=AD^2+BD^2\left(dpcm\right)}\)
Câu b:
Vì E,F là trung điểm của AC ;AD nên \(\hept{\begin{cases}AD⊥OF\\AC⊥OE\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{AED}=90^0\\\widehat{AFO}=90^0\end{cases}}}\)Nên tứ giác AEOF nội tiếp nội tiếp đường tròn đường kính AO tức đường tròn nội tiếp AEOF đường tròn tâm I là trung điểm của AO
Câu c:
vì O,F là trung điểm của AB và AD nên OF là đường trung bình của \(\Delta ABD\)Nên OF // BD \(\Rightarrow\widehat{AOF}=\widehat{ABD\left(1\right)}\)
Mà \(\widehat{AEK}=\widehat{AOF}\left(2\right)\)( góc \(\widehat{AEF}\)chính là góc \(\widehat{AEK}\))
Mặt khác : \(\widehat{AEK}=\widehat{ADK}\left(3\right)\)Từ 1,2,3 ta có : \(\widehat{ADK}=\widehat{ABD}=\frac{1}{2}\widebat{AD}\)nên KD là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại D
- AEDK là hình chữ nhật khi và chỉ khi hai đường chéo \(AD=EK\)và F là trung điểm của EK
nên EF Là đường trung bình của \(\Delta ACD\) \(\Rightarrow\)EF // DC \(\Rightarrow\widehat{AEK}=\widehat{ACD}\)(So le trong) mà AEKD là HCN \(\Rightarrow\widehat{DAC}=\widehat{AEK}\)\(\Rightarrow\widehat{DAC}=\widehat{ACD}\)Hay \(\Delta ACD\)cân tại D
TM
3 tháng 5 2023
a) \(BE,CF\) là đường cao của \(\Delta ABC\Rightarrow\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^o\).
Mà trong tứ giác \(BFEC\), hai góc này có đỉnh kề nhau và cùng nhìn cạnh \(BC\).
Vậy : Tứ giác \(BFEC\) nội tiếp được một đường tròn (dấu hiệu nhận biết) (đpcm).
b) Ta có : \(\hat{ABD}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow AB\perp BD.\)
Mà : \(\hat{BFC}=90^o\left(cmt\right)\Rightarrow AB\perp CF.\)
Từ đó suy ra : \(BD\left|\right|CF\Rightarrow BFCD\) là hình thang.
Mà : \(\hat{BFC}=\hat{ABD}=90^o\left(cmt\right)\Rightarrow BFCD\) là hình thang vuông.
c) Ta có : \(CF\left|\right|BD\left(cmt\right)\) hay \(CH\left|\right|BD\left(1\right).\)
Mặt khác : \(\hat{ACD}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow AC\perp CD\).
Và : \(BE\perp AC\left(gt\right)\)
Suy ra được : \(CD\left|\right|BE\) hay \(CD\left|\right|BH\left(2\right).\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow BHCD\) là hình bình hành.
Ta cũng có : \(M\) là trung điểm của \(BC\left(gt\right)\Rightarrow M\) cũng là trung điểm của \(HD\left(3\right).\)
Lại có \(O\) là trung điểm của \(AD\left(4\right)\) (tâm đường tròn).
Từ \(\left(3\right),\left(4\right)\Rightarrow OM\) là đường trung bình của \(\Delta HAD\Rightarrow OM=\dfrac{1}{2}AH\Leftrightarrow AH=2.OM\) (đpcm).
d) Cho \(I\) là giao điểm của \(OA\) và \(EF\).
Ta có : \(\hat{ACB}=\hat{ADB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn \(\stackrel\frown{AB}\)).
Hay : \(\hat{ACB}=\hat{BDI}\left(5\right).\)
Mặt khác : Tứ giác \(BFEC\) nội tiếp được một đường tròn (cmt) nên \(\hat{AFI}=\hat{ECB}\) (cùng bù với \(\hat{BFE}\)) hay \(\hat{AFI}=\hat{ACB}\left(6\right).\)
Từ \(\left(5\right),\left(6\right)\Rightarrow\hat{AFI}=\hat{BDI}\) hay \(\hat{AFI}=\hat{ADB}.\)
\(\Delta ABD:\hat{BAD}+\hat{ADB}=90^o\) (hai góc phụ nhau)
\(\Rightarrow\hat{FAI}+\hat{AFI}=90^o.\)
\(\Delta AFI:\hat{FAI}+\hat{AFI}+\hat{AIF}=180^o\) (tổng ba góc trong một tam giác)
\(\Leftrightarrow\hat{AIF}=180^o-\left(\hat{FAI}+\hat{AFI}\right)=180^o-90^o=90^o\)
\(\Rightarrow OA\perp EF\) (đpcm).
Một tứ giác nội tiếp được đường tròn nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
+ Tổng của hai góc đối diện bằng 180 ° .
+ Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
+ Hai đỉnh kề cùng nhình cạnh nối hai đỉnh còn lại dưới góc bằng nhau.
+ Bốn đỉnh cách đều một điểm cố định.