Question

[Pham Trong Bach]

Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình 3 sin 2 x + cos 2 x sin 2 x + 4 cos 2 x + 1 ≤ m + 1  đúng với mọi  x ∈ ℝ  

A. m ≥ 3 5 4

B. m ≥ 3 5 + 9 4

C. m ≥ 65 − 9 2

D. m ≥ 65 − 9 4

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án D

Ta có : y = 3 sin 2 x + cos 2 x sin 2 x + 4 cos 2 x + 1 = 3 sin 2 x + cos 2 x sin 2 x + 2 cos 2 x + 3

và  sin 2 x + 2 cos 2 x + 3 > 0 ;   ∀ x ∈ ℝ  

xét phương trình

  y = 3 sin 2 x + cos 2 x sin 2 x + 2 cos 2 x + 3

⇔ sin 2 x + 2 cos 2 x + 3 y = 3 sin 2 x + cos 2 x ⇔ y − 3 sin 2 x + 2 y − 1 cos 2 x = − 3 y

Phương trình trên có nghiệm nên 

y − 3 2 + 2 y − 1 2 ≥ − 3 y 2 ⇔ 5 y 2 − 10 y + 10 ≥ 9 y 2

⇔ − 4 y 2 − 10 y + 10 ≥ 0 ⇔ − 5 − 65 4 ≤ y ≤ − 5 + 65 4

Suy ra giá trị lớn nhất của y là  − 5 + 65 4

Phương trình 3 sin 2 x + cos 2 x sin 2 x + 2 cos 2 x + 3 ≤ m + 1 nghiệm đúngg với mọi số thực x khi 

− 5 + 65 4 ≤ m + 1 ⇔ m ≥ − 9 + 65 4