Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và SA=SB=SC=11, S A B ^ = 30 0 , S B C ^ = 60 0 và S C A ^ = 45 0 . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SD?
A. 4 11
B. 2 22
C. 22 2
D. 22
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp án là D
Do SB = SC = 11 và do đó BC = 11
Ta lại có, SA = SC = 11 và vuông cân tại S hay AC = 11 2
Mặt khác, SA = SB = 11 và
Từ đó, ta có suy ra ∆ ABC vuông tại C
Gọi H là trung điểm của AB Khi đó, H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC. Vì SA = SB = SC nên SH ⊥ (ABC)
Gọi M là điểm trên CD sao cho HM ⊥ AB suy ra HM ⊥ CD. Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ C xuống AB. Khi đó, HM//CN và HM = CN. Do ∆ ABC vuông tại C nên theo công thức tính diện tích ta có:
Ta lại có, nên
Trong tam giác vuông SHM dựng đường cao HI(I ∈ SM) suy ra HI ⊥ (SCD). Khi đó,
Trước hết ta chứng minh 1 bổ đề đơn giản về diện tích tam giác như sau (em tự vẽ hình)
Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy 2 điểm B' và C', khi đó ta có:
\(\dfrac{S_{AB'C'}}{S_{ABC}}=\dfrac{AB'.AC'}{AB.AC}\)
Chứng mình: từ C và C' lần lượt hạ CH và C'H' vuông góc AB, khi đó CH song song C'H' nên theo Talet:
\(\dfrac{C'H'}{CH}=\dfrac{AC'}{AC}\)
\(\Rightarrow\dfrac{S_{AB'C'}}{S_{ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}C'H'.AB'}{\dfrac{1}{2}CH.AB}=\dfrac{AC'.AB'}{AC.AB}\)
Quay lại bài, gọi O là tâm đáy
Trong mp (SAC), tại O' là giao điểm của SO và A'C'
Ba mặt phẳng (SAC), (SBD), \(\left(\alpha\right)\) cắt nhau theo 3 giao tuyến phân biệt là SO, A'C', B'D' nên 3 giao tuyến này song song hoặc đồng quy.
Mà SO và A'C' cắt nhau tại O' nên 3 đường thẳng nói trên đồng quy tại O'
Ta có:
\(S_{SA'C'}=S_{SA'O'}+S_{SC'O'}\Rightarrow\dfrac{S_{SA'C'}}{S_{SAC}}=\dfrac{S_{SA'O'}}{S_{SAC}}+\dfrac{S_{SC'O'}}{S_{SAC}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{S_{SA'C'}}{S_{SAC}}=\dfrac{S_{SA'O'}}{2S_{SAO}}+\dfrac{S_{SC'O'}}{S_{SCO}}\Rightarrow\dfrac{SA'.SC'}{SA.SC}=\dfrac{SA'.SO'}{2SA.SO}+\dfrac{SC'.SO'}{2SC.SO}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{SA'.SC'}{SA.SC}=\dfrac{SO'}{2SO}\left(\dfrac{SA'}{SA}+\dfrac{SC'}{SC}\right)\)
\(\Leftrightarrow SA'.SC'=\dfrac{SO'}{2SO}\left(SC.SA'+SA.SC'\right)\)
\(\Leftrightarrow1=\dfrac{SO'}{2SO}\left(\dfrac{SC}{SC'}+\dfrac{SA}{SA'}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{SA}{SA'}+\dfrac{SC}{SC'}=\dfrac{2SO}{SO'}\)
Hoàn toàn tương tự, ta cũng có \(\dfrac{SB}{SB'}+\dfrac{SD}{SD'}=\dfrac{2SO}{SO'}\)
\(\Rightarrow\dfrac{SA}{SA'}+\dfrac{SC}{SC'}-\left(\dfrac{SB}{SB'}+\dfrac{SD}{SD'}\right)=0\)
- Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Ta có:
- Từ (1) và (2) suy ra:
Chọn đáp án A
Áp dụng công thức
Suy ra V S . A B C D = a 2 2 ( đ v t t )
Đáp án là D