Cho hàm số y = 1 3 x 3 -ax 2 − 3 a x + 4 với a là tham số. Biết a 0 là giá trị của tham số a để hàm số đã cho đạt cực trị tại hai điểm x 1 , x 2 thỏa mãn x 1 2 + 2 a x 2 + 9 a a 2 + a 2 x 2 2 + 2 a x 1 + 9 a = 2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a 0 ∈ − 10 ; − 7
B. a 0 ∈ 7 ; 10
C. a 0 ∈ − 7 ; − 3
D. a 0 ∈ 1 ; 7
Đáp án là C.
Ta có y ' = x 2 − 2 a x − 3 a .
Hàm số có hai điểm cực trị ⇔ y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ x 2 − 2 a x − 3 a = 0 (*) có hai nghiệm phân biệt
⇔ Δ ' > 0 ⇔ a 2 + 3 a > 0 ⇔ a ∈ − ∞ ; − 3 ∪ 0 ; + ∞ (1).
Khi đó hàm số đạt cực trị tại hai điểm x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình (*).
Ta có x 1 2 − 2 a x 1 − 3 a = 0 ⇒ x 1 2 = 2 a x 1 + 3 a ; tương tự x 2 2 = 2 a x 2 + 3 a .
x 1 2 + 2 a x 2 + 9 a a 2 + a 2 x 2 2 + 2 a x 1 + 9 a = 2
⇔ 2 a x 1 + 3 a + 2 a x 2 + 9 a a 2 + a 2 2 a x 2 + 3 a + 2 a x 1 + 9 a = 2
⇔ 2 a x 1 + x 2 + 12 a a 2 + a 2 2 a x 1 + x 2 + 12 a = 2 ⇔ 4 a 2 + 12 a a 2 + a 2 4 a 2 + 12 a = 2
⇔ 4 a + 12 a + a 4 a + 12 = 2
⇔ 4 a + 12 2 + a 2 = 2 a 4 a + 12 ⇔ 9 a 2 + 72 a + 144 = 0
⇔ a = − 4 (thỏa mãn điều kiện (1)).
Vậy a 0 = − 4