Cho số phức z = 1 + 4i Tổng bình phương các giá trị a để z + a 2 - 2 i = 3 - 2 i là
A. 0
B. 2
C. 4
D. 6
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp án A.
Giả sử z = a + b i , a , b ∈ ℝ . Khi đó
z − 3 + 4 i + z + 2 − i = 5 2 ⇔ a − 3 2 + b + 4 2 + a + 2 2 + b − 1 2 = 5 2
Coi I a ; b , P 3 ; − 4 , Q − 2 ; 1 và R 4 ; 3 , với chú ý P Q = 5 2 thì đẳng thức trên trở thành I P + I Q = P Q .
Đẳng thức trên chỉ xảy ra khi I thuộc đoạn PQ. Hơn nữa z − 4 − 3 i = I R .
Nhận thấy tam giác PQR là tam giác có ba góc nhọn nên
min R I = d R , P Q ; max R I = max R P , R Q
Bằng tính toán ta có m = 4 2 ; M = 5 2 . Suy ra M 2 + m 2 = 82 .
Chọn A.
Gọi M( x; y) là điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng Oxy.
Biểu diễn hình học của P là đường thẳng và P = 4x + 2y + 3.
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có:
P = 4x + 2y + 3 = 4(x – 3) + 2(y – 4) + 23
Vậy MaxP = 33
Đáp án D
Cách 1
· Đặt biểu diễn cho số phức z.
· Từ giả thiết, ta có M thuộc đường trung trực của đoạn EF và P=AM+BM+CM
· Ta chứng minh điểm M chính là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng ∆ .
- Với M’ tùy ý thuộc ∆ , M’ khác M. Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua ∆ . Nhận thấy rằng ba điểm A’, M, C thẳng hàng.
- Ta có
Mà
Lại có Do đó
Cách 2
· Gọi Từ giả thiết , dẫn đến y=x .
Khi đó z=x+xi.
·
· Sử dụng bất đẳng thức
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Ta có
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
· Mặt khác
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= 7 2
· Từ hai trường hợp trên, ta thấy, giá trị nhỏ nhất của P là .
Khi đó a+b=3.
Đáp án C