Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết rằng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng a. Xét góc α thay đổi là số đo của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy. Tính sao cho thể tích của hình chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ nhất.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chọn đáp án C.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB.
Đáp án C.
Ta có B C ⊥ A B ; B C ⊥ S A nên B C ⊥ S A B .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB.
Khi đó A H ⊥ S B C và d A , S B C = A H .
Ta có góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng A B C D là góc S B A ^ .
Đặt S B A ^ = α .
Theo giả thiết ta có A B = a sin α ; S A = a cos α .
Thể tích khối chóp S.ABCD là V = 1 3 . S A . S A B C D = 1 3 sin 2 α cos α a 3 .
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có
sin 2 α . sin 2 α .2 cos 2 α ≤ sin 2 α + sin 2 α + 2 cos 2 α 3 3 = 8 27
Suy ra sin 2 α cos α ≤ 2 3 9 . Do đó V ≥ 3 2 a 3 .
Dấu bằng xảy ra khi sin 2 α = 2 cos 2 α ⇒ cos α = 1 3 .
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 2 a 3 khi cos α = 1 3 .
Suy ra V 0 = 3 2 a 3 ; p = 1, q = 3
⇒ T = p + q V 0 = 2 3 a 3 .