Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình
3
sin
2
x
+
cos
2
x
sin
2
x
+
4
cos
2
x
+
1
≤
m
+
1
đúng với mọi
x
∈
ℝ
A.
m
≥
3
5
4
B.
m
≥
3
5
+
9
4
C.
m
≥
65
−
9
2
D.
m
≥
65
...
Đọc tiếp
Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình 3 sin 2 x + cos 2 x sin 2 x + 4 cos 2 x + 1 ≤ m + 1 đúng với mọi x ∈ ℝ
A. m ≥ 3 5 4
B. m ≥ 3 5 + 9 4
C. m ≥ 65 − 9 2
D. m ≥ 65 − 9 4
Đáp án D
Ta có :
y = 3 sin 2 x + cos 2 x sin 2 x + 4 cos 2 x + 1 = 3 sin 2 x + cos 2 x sin 2 x + 2 cos 2 x + 3
Và sin 2 x + 2 cos 2 x + 3 > 0 ; ∀ x ∈ ℝ .
xét phương trình y = 3 sin 2 x + cos 2 x sin 2 x + 2 cos 2 x + 3
⇔ sin 2 x + 2 cos 2 x + 3 y = 3 sin 2 x + cos 2 x ⇔ y − 3 sin 2 x + 2 y − 1 cos 2 x = − 3 y
Phương trình trên có nghiệm nên
y − 3 2 + 2 y − 1 2 ≥ − 3 y 2 ⇔ 5 y 2 − 10 y + 10 ≥ 9 y 2
⇔ − 4 y 2 − 10 y + 10 ≥ 0 ⇔ − 5 − 65 4 ≤ y ≤ − 5 + 65 4
Suy ra giá trị lớn nhất của y là − 5 + 65 4
Phương trình 3 sin 2 x + cos 2 x sin 2 x + 2 cos 2 x + 3 ≤ m + 1 nghiệm đúngg với mọi số thực x khi − 5 + 65 4 ≤ m + 1 ⇔ m ≥ − 9 + 65 4