Question

[Pham Trong Bach]

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right): {\left(x-2\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2+{\left(z+6\right)}^2=24$ và điểm A(-2;0;-2). Từ A kẻ các tiếp tuyến đến (S) với các tiếp điểm thuộc đường tròn $\left(\omega \right)$. Từ điểm M di động nằm ngoài (S) và nằm trong mặt phẳng chứa $\left(\omega \right)$, kẻ các tiếp tuyến đến (S) với các tiếp điểm thuộc đường tròn $(\omega \text{'})$. Biết rằng khi $\left(\omega \right)$ và $(\omega \text{'})$ có cùng bán kính thì M luôn thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính r của đường tròn đó

A.  $r=6\sqrt{2}$

B.  $r=3\sqrt{10}$

C.  $r=3\sqrt{5}$

D.  $r=3\sqrt{2}$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường tròn ( ω )  

Mặt cầu (S) có tâm I(2;4;6) và có bán kính R = 24 = 2 6 . Ta có:

I A = 4 2 + 2 2 + 8 2 = 4 6  

Do hai đường tròn ω  và ω '  có cùng bán kính nên IA=IM = 4 6

Tam giác IAK vuông tại K nên ta có

I K 2 = I H . I A ⇒ I H = I K 2 I A = 24 4 6 = 6

Do H là tâm của đường tròn ω  nên điểm H cố định.

Tam giác IHM vuông tại H nên ta có:

M H = I M 2 - I H 2 = 4 6 2 - 6 2 = 3 10

Do H cố định thuộc mặt phẳng (P), M di động trên mặt phẳng (P) và M H = 3 10  không đổi. Suy ra điểm M thuộc đường tròn có tâm là H và có bán kính r = H M = 3 10  

Chọn đáp án B.