Question

[Pham Trong Bach]

Cho số phức z thỏa mãn $\left|\frac{z-1}{z+3i}\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  $P=\left|z+1\right|+2\left|\overline{z}-4+7i\right|$

A. 8.

B. 10.

C.  $2\sqrt{5}$

D.  $4\sqrt{5}$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Chọn đáp án B

Giả sử z = x + y i x , y ∈ R .

Từ giả thiết ta có  z - 1 z + 3 i = 1 2

 

Suy ra tập hợp các điểm M(x;y) biểu diễn số phức z là đường tròn (C) có tâm I(2;3) và bán kính R = 2 5 .

Lại có P = z + i + 2 z - 4 + 7 i = M A + 2 M B  với A(0;-1) và B(4;7).

Ta thấy A ∈ C , B ∈ C  và A B = 4 5 = 2 R

nên AB là đường kính của đường tròn (C). Khi đó  ∆ M A B vuông tại M.

 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M A 1 = M B 2 ⇔ M B = 2 M A