Question

[Đức Anh Gamer]

Cho tam giác ABC đều, M nằm trong tam giác sao cho AM²=BM²+CM². Tính số đo góc BMC.

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

A B C M D

Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C dựng tam giác đều AMD ta có

\(\widehat{DAM}=\widehat{DAB}+\widehat{BAM}=60^o\Rightarrow\widehat{DAB}=60^o-\widehat{BAM}\)

\(\widehat{BAC}=\widehat{BAM}+\widehat{CAM}=60^o\Rightarrow\widehat{CAM}=60^o-\widehat{BAM}\)

\(\Rightarrow\widehat{DAB}=\widehat{CAM}\)

Xét tg BAD và tg CAM có

\(\widehat{DAB}=\widehat{CAM}\left(cmt\right)\)

\(AD=AM\) (cạnh của tg đều ADM) (1)

\(AB=AC\) (cạnh của tg đều ABC)

\(\Rightarrow\Delta BAD=\Delta CAM\left(c.g.c\right)\Rightarrow CM=BD\)(1)

Theo đề bài ta có \(AM^2=BM^2+CM^2\) mà  \(AM=DM\) (cạnh của tg đều ADM) (2)

Thay các kết quả (1) và (2) vào biểu thức

\(\Rightarrow DM^2=BM^2+BD^2\) => Tg BDM vuông tại B (theo định lý pitago đảo) \(\Rightarrow\widehat{DBM}=90^o\)

Ta có \(\Delta BAD=\Delta CAM\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ACM}\)

\(\widehat{MCB}=60^o-\widehat{ACM}\)

\(\widehat{MBC}=60^o-\widehat{ABM}\)

\(\Rightarrow\widehat{MBC}=180^o-\widehat{MCB}-\widehat{MBC}=180^o-60^o+\widehat{ACM}-60^o+\widehat{ABM}\)

\(\Rightarrow\widehat{MBC}=60+\widehat{ACM}+\widehat{ABM}\) mà \(\widehat{ACM}=\widehat{ABD}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{MBC}=60^o+\widehat{ABD}+\widehat{ABM}=60^o+\widehat{DBM}=60^o+90^o=150^o\)