Question

[Pham Trong Bach]

Cho khai triển 1 + x + x 2 n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a 2 n x 2 n , với n ≥ 2  và a 0 , a 1 , a 2 , ... , a 2 n  là các hệ số. Biết rằng a 3 14 = a 4 41  khi đó tổng S = a 0 + a 1 + a 2 + ... + a 2 n  bằng

A. S = 3 10 .

B.  S = 3 11 .

C.  S = 3 12 .

D. S = 3 13 .

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án A

Ta có: 1 + x + x 2 n = 1 + x 1 + x n = ∑ k = 0 n C k n x k 1 + x k

= ∑ k = 0 n C n k x k ∑ j = 0 k C j k x k ⇒ T k + 1 = C k n x k ∑ j = 0 k C j k x k

Ta tính các số hạng như sau:

T 0 = 1 ;

T 1 = C n 1 C n 2 x + C n 1 C 1 1 x 2 = n x ; T 2 = C n 2 C n 0 x 2 + C n 2 C 2 1 x 3 + C n 2 C 2 2 x 4 , ....  

Như vậy ta có:

a 3 = C n 2 C 2 1 + C n 3 C 2 0 ; a 4 = C n 2 C 2 2 + C n 3 C 3 1 + C n 4 C 4 0    

Theo giả thiết  

a 3 14 = a 4 41 ⇒ C n 2 C 2 1 + C n 3 C 2 0 14 = C n 2 C 2 2 + C n 3 C 3 1 + C n 4 C 4 0 41

⇔ 2. n n − 1 2 ! + n n − 1 n − 2 3 ! 14 = n n − 1 2 ! + 3 n n − 1 n − 2 3 ! + n n − 1 n − 2 n − 3 4 ! 41

⇔ 21 n 2 − 99 n − 1110 = 0 ⇒ n = 10

Trong khai triển:

1 + x + x 2 10 = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a 20 x 20

cho x = 1 ta được:  S = a 0 + a 1 + a 2 + ... + a 20 = 3 10