Question

[Pham Trong Bach]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=4$. Xét đường thẳng  $d: \left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-mt\\ z=(m-1)t\end{array}\right.$ với m là tham số thực. Giả sử (P) và (P') là hai mặt phẳng chứa d, tiếp xúc với (S) lần lượt tại T và T'.  Khi m thay đổi, tính giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng TT'.

A. 2

B.  $\frac{2\sqrt{11}}{3}$

C.  $\frac{4\sqrt{13}}{5}$

D.  $2\sqrt{2}$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Chọn C

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3), bán kính R =2.  Mặt phẳng (ITT') cắt d tại điểm M (như hình vẽ trên). Gọi H là giao điểm của TT'  và MI.

Do TT' = 2TH nên 

Nhận xét rằng với 

nên khi  thay đổi ta luôn có 

cố định. Vì thế

Từ đó ta có: 

Ta kiểm tra điều kiện đủ của bài toán, tức là chứng minh rằng hình chiếu vuông góc của I lên (P) thuộc vào đường thẳng d.

Gọi d' là đường thẳng qua I và vuông góc với  ta có: 

Gọi M là hình chiếu vuông góc của I lên (P) ta có: 

Xét hệ

Vậy với  m = 1 5 thì độ dài của TT' nhỏ nhất.