Question

[Pham Trong Bach]

Trong các số phức z thỏa mãn $\left|z+4-3i\right|+\left|z-8-5i\right|=2\sqrt{38}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left|z-2-4i\right|$.

A.  $\frac{1}{2}$

B.  $\frac{5}{2}$

C. 2

D. 1

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án D.

Đặt z = x + y i , ( x , y ∈ ℝ ) .

Từ giả thiết ta có: x + 4 + y - 3 i + ( x - 8 ) + ( y - 5 ) i = 2 38  

⇔ x + 4 2 + y - 3 2 + x - 8 2 + y - 5 2 = 2 38 .

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có:

x + 4 2 + y - 3 2 + x + 8 2 + y - 5 2 ≤ ( 1 2 + 1 2 ) x + 4 2 + ( y - 3 ) 2 + ( x - 8 ) 2 + ( y - 5 ) 2 = 2 x 2 - 4 + y 2 - 8 y + 57 ⇔ 38 ≤ x - 2 2 + y - 4 2 + 37 ⇔ x - 2 2 + y - 4 2 ≥ 1  

Lại có z - 2 - 4 i = x - 2 + ( y + 4 ) i = x - 2 2 + ( y - 4 ) 2 ≥ 1 = 1 .