Cho hình chữ nhật ABCD, gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa của AB và CD. Nối DM, BN cắt AC tại I và K. Chứng tỏ rằng AI = IK = KC.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
17 tháng 12 2023
Sửa đề: N là trung điểm của BC
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Ta có: ABCD là hình bình hành
=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AC và BD
Xét ΔABD có
AO,DM là các đường trung tuyến
AO cắt DM tại I
Do đó: I là trọng tâm của ΔABD
Xét ΔCBD có
DN,CO là các đường trung tuyến
DN cắt CO tại K
Do đó: K là trọng tâm của ΔCBD
Xét ΔADB có
I là trọng tâm
AO là đường trung tuyến
Do đó: \(AI=\dfrac{2}{3}AO=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot AC=\dfrac{1}{3}AC\)
Xét ΔCBD có
CO là đường trung tuyến
K là trọng tâm
Do đó: \(CK=\dfrac{2}{3}CO=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{3}AC\)
Ta có: AI+IK+KC=AC
=>\(IK+\dfrac{1}{3}AC+\dfrac{1}{3}AC=AC\)
=>\(IK=\dfrac{1}{3}AC\)
=>AI=IK=KC
CM
19 tháng 12 2017
Theo câu a, AICK là hình bình hành
⇒ AK//CI. Khi đó , ta có:
Mặt khác, ta lại có: AI = IB, CK = KD theo giải thiết:
ÁP dụng định lý đường trung bình vào tam giác ABM, DCN ta có:
⇒ DM = MN = NB
CM
31 tháng 12 2018
a) Vì AB = 3 x AM, AC = 3 x AN, nên MB = 2/3 x AB, NC = 2/3 x AC.
Từ đó suy ra : dt (MBC) = 2/3 x dt (ABC) (chung chiều cao từ C
dt (NCB) = 2/3 x dt (ABC) (chung chiều cao từ B)
Vậy dt (MBC) = dt (NCB) mà tam giác MBC và tam giác NCB có chung đáy BC, nên chiều cao từ M bằng chiều cao từ N xuống đáy BC hay MN song song với BC. Do đó BMNC là hình thang.
Từ MB = 2/3 x AB, nên dt (MBN) = 2/3 x dt (ABN) (chung chiều cao từ N) hay dt (ABN) = 2/3 x dt (MBN).
Hơn nữa từ AC = 3 x AN, nên NC = 2 x AN, do đó dt (NBC) = 2 x dt (ABN) (chung chiều cao từ B) ; suy ra dt (NBC) = 3/2 x 2 x dt (MBN) = 3 x dt (MBN).
Mà tam giác NBC và tam giác MBN có chiều cao bằng nhau (cùng là chiều cao của hình thang BMNC). Vì vậy đáy BC = 3 x MN.
b) Gọi BN cắt CM tại O. Ta sẽ chứng tỏ AI cũng cắt BN tại O. Muốn vậy, nối AO kéo dài cắt BC tại K, ta sẽ chứng tỏ K là điểm chính giữa của BC (hay K trùng với I).
Theo phần a) ta đã có dt (NBC) = 2 x dt (ABN). Mà tam giác NBC và tam giác ABN có chung đáy BN, nên chiều cao từ C gấp 2 lần chiều cao từ A xuống đáy BN. Nhưng đó là chiều cao tương ứng của hai tam giác BCO và BAO có chung đáy BO, vì vậy dt (BCO) = 2 x dt (BAO)
Tương tự ta cũng có dt (BCO) = 2 x dt (CAO).
Do đó dt (BAO) = dt (CAO). Hai tam giác BAO và CAO có chung đáy AO, nên chiều cao từ B bằng chiều cao từ C xuống đáy AO. Đó cũng là chiều cao tương ứng của hai tam giác BOK và COK có chung đáy OK, vì vậy dt (BOK) = dt (COK). Mà hai tam giác BOK và tam giác COK lại chung chiều cao từ O, nên hai đáy BK = CK hay K là điểm chính giữa của cạnh BC. Vậy điểm K trùng với điểm I hay BN, CM, AI cùng cắt nhau tại điểm O.
NN
Nguyễn Ngọc Anh Minh
CTVHS
VIP
27 tháng 10 2016
1/ Ta có AB//=CD (t/c hình bình hành)
KA=KB; IC=ID (đề bài)
=> AK//=IC => AKCI là hình bình hành => AI//CK
2/ Từ AI//CK và KB=KA theo talet
\(\Rightarrow\frac{KB}{KA}=\frac{NB}{NM}=1\Rightarrow NB=NM\left(1\right)\)
Từ AI//CK và ID=IC theo talet
\(\Rightarrow\frac{ID}{IC}=\frac{MD}{NM}=1\Rightarrow MD=MN\left(2\right)\)
Mà BD = MD + NM + NB (3)
Từ (1) (2) và (3) => MD=NM=NB => \(DM=\frac{BD}{3}\)
3/ Gọi O là giao của AC và BD
Do ABCD là hình bình hành => BD cắt BC tại O là trung điểm của AC (t/c đường chéo hbh)
Do AKCI là hình bình hành => IK cắt BC tại trung điểm O của BC (t/c đường chéo hbh)
=> BD; AC; IK đồng qui tại O
22 tháng 9 2019
bn tự kẻ hình nha!
a) ta có: AB = DC ( ACBD là hình bình hành)
----> BM = CN ( = 1/2. AB = 1/2 . DC)
mà BM // CN
-----> BMNC là h.b.h
b) xét tam giác AMD và tam giác CNB
có: AM = CN ( = 1/2.AB = 1/2.CD)
AD = BC (gt)
^DAM = ^NCB (gt)
-----> tg AMD = tg CNB (c-g-c)
-----> DM = NB ( 2 cạnh t/ ư)
c) AN cắt DM tại I, MC cắt BN tại K. chứng minh : AC,BD,MN,IK
bài làm
Gọi AC cắt DB tại E
ta có: tg AMD = tg CNB (cmt)
-----> ^AMD = ^CNB
mà ^AMD = ^MDN ( AB//DC)
-----> ^CNB = ^MDN
mà ^CNB, ^MDN nằm ở vị trí đồng vị
-----> DM// BN
và DM = BN (pb)
-----> DMBN là h.b.h
-------> BD cắt MN tại E ( do 2 đường chéo của h.b.h cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)
tương tự bn cx chứng minh: MINK là h.b.h ( MI = NK = 1/2.DM = 1/2.BN)
-----> MN cắt IK tại E
------------> AC,BD, MN,IK đồng quy tại E
Ta có : dt (ABC) = 2 x dt (AMD) (vì AB = 2 x AM và AD = BC) ; dt (DCM) = dt (ABC) (vì AB = DC và c.cao cùng bằng BC)
Suy ra dt (DCM) = 2 x dt (AMD). Gọi CH và AE lần lượt là chiều cao của tam giác DCM và DAM xuống đáy DM, khi đó CH = 2 x AE. Nhưng CH và AE lần lượt là chiều cao của tam giác ICM và IAM có chung cạnh đáy IM. Vậy dt (ICM) = 2 x dt (IAM). Mà tam giác IAM và ICM chung chiều cao từ M, do đó IC = 2 x AI, suy ra AC = 3 x AI hay AI = 1/3 AC.
Làm tương tự với các cặp tam giác ABN và CBN ; KCN và KAN ta có KC = 1/3 AC. Vậy AI = KC = 1/3 AC, suy ra IK = 1/3 AC.
Do đó AI = IK = KC.