Question

[Pham Trong Bach]

Biết rằng hai số phức $z_1,z_2$ thỏa mãn $\left|z_1-3-4i\right|=1$ và $\left|z_2-3-4i\right|=\frac{1}{2}$. Số phức z có phần thực là a và phần ảo là b thỏa mãn $3a-2b=12.$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left|z-z_1\right|+\left|z-z_2\right|+2$  bằng

A.  $P_{min}=\frac{3\sqrt{1105}}{11}$

B.  $P_{min}=5-2\sqrt{3}$

C.  $P_{min}=\frac{3\sqrt{1105}}{13}$

D.  $P_{min}=5+2\sqrt{5}$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Chọn đáp án C

Gọi M 1 , M 2 , M  lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z 1 , 2 z 2 , z  trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Do z 1 - 3 - 4 i = 1  nên quỹ tích điểm M 1  là đường tròn C 1  có tâm I 1 3 ; 4  và bán kính R = 1 

Do  z 2 - 3 - 4 i = 1 2 ⇔ 2 z 2 - 6 - 8 i = 1  nên quỹ tích điểm  M 2  là đường tròn  C 2  có tâm  I 2 6 ; 8  và bán kính R = 2 

Ta có điểm M(a; b) thỏa mãn 3a - 2b = 12 nên quỹ tích điểm M là đường thẳng d: 3x - 2y - 12 = 0

Khi đó

Gọi C 3 là đường tròn đối xứng với đường tròn C 2  qua đường thẳng d.

Ta tìm được tâm của  C 3 là I 3 138 13 ;   64 13 và bán kính R = 1

Khi đó

với M 3 ∈ C 3  và A, B lần lượt là giao điểm của đường thẳng I 1 I 3 với hai đường tròn C 1 ,   C 3  (quan sát hình vẽ).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi M 1 ≡ A và  M 3 ≡ B

Vậy  P m i n = A B + 2 = I 1 I 3 = 3 1105 13