Question

[Pham Trong Bach]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left(1;2;1\right),B\left(3;-1;1\right)$ và $C\left(-1;-1;1\right).$ Gọi $\left(S_1\right)$ là mặt cầu có tâm A, bán kính bằng 2; $\left(S_2\right)$ và $\left(S_3\right)$ là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B, C và bán kính đều bằng 1. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu $\left(S_1\right),\left(S_2\right),\left(S_3\right)$?

A. 5

B. 7

C. 6

D. 8

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án B.

Gọi phương trình mặt phẳng cần tìm là

P : + b y + c z + d = 0.

Vì d B ; P = d C ; P = 1  suy ra

m p P / / B C  hoặc đi qua trung điểm của BC.

Trường hợp 1: với 

s u y   r a   d A ; P = 2 b + c + d b 2 + c 2 = 2

V à   d B ; P = − b + c + d b 2 + c 2 = 1 ⇒ 2 b + c + d = 2 − b + c + d − b + c + d = b 2 + c 2 ⇒ 4 b = c + d c + d = 0 − b + c + d = b 2 + c 2

⇔ 3 b = b 2 + c 2 b = b 2 + c 2 ⇔ 8 b 2 = c 2 ⇒ c = ± 2 2 b c = 0 ⇒ d = 0

Suy ra có ba mặt phẳng thỏa mãn.

Trường hợp 2: Mặt phẳng (P) đi qua trùng điểm B C ⇒ P : a x − 1 + b y + 1 + c z − 1 = 0

Do đó d A ; P = 3 b a 2 + b 2 + c 2 = 2 ;   d B ; P = 2 a a 2 + b 2 + c 2 = 1

Suy ra  3 b = 4 a 2 a = a 2 + b 2 + c 2 ⇔ 3 b = 4 a 3 a 2 = b 2 + c 2        ( * )

Chọn a =3 suy ra (*)

⇔ b = 4 b 2 + c 2 = 27 ⇔ b = ± 4 c 2 = 11 ⇒ a ; b ; c = 3 ; 4 ; 11 , 3 ; − 4 ; 11 3 ; 4 ; − 11 , 3 ; − 4 ; − 11 .

Vậy có tất cả 7 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.