Question

[Pham Trong Bach]

Biết đồ thị hàm số $y=x^3+a{x}^2+bx+c$ có hai điểm cực trị $M\left(x_1;y_1\right)$; $N\left(x_2;y_2\right)$ thỏa mãn $x_1\left(y_1-y_2\right)=y_1\left(x_1-x_2\right)$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $abc+2ab+3c$ bằng

A.  $-\frac{49}{4}$

B.  $-\frac{25}{4}$

C.  $-\frac{841}{36}$

D.  $-\frac{7}{6}$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Chọn đáp án A.

Vì M x 1 ; y 1 ,   N x 2 ; y 2  là các điểm cực trị của đồ thị hàm số nên y ' x 1 = y ' x 2 = 0

do đó x 1 , x 2 là hai nghiệm phân biệt của  y ' = 3 x 2 + 2 a x + b = 0

Ta có phân tích: x 3 + a x 2 + b x + c

Do đó  y 1 = 2 3 b - a 2 3 x 1 + c - a b 9

y 2 = 2 3 b - a 2 3 x 2 + c - a b 9

Vì  3 x 1 2 + 2 a x 1 + b = 0 ; 3 x 2 2 + 2 a x 2 + b = 0

Vậy điều kiện bài toán tương đương với

⇔ a b = 9 c

Khi đó:

Dấu bằng đạt tại  c = - 7 6 ; a b = - 21 2