Question

[Pham Trong Bach]

Phương trình $2^{{\sin }^{2}x}+3^{{\cos }^{2}x}={4.3}^{{\sin }^{2}x}$ có bao nhiêu nghiệm thuộc $\left[-2017;2017\right]$ 

A. 1284

B. 4034

C. 1285

D. 4035

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án C.

Đặt  t = sin 2 x t ∈ 0 ; 1   , PT trở thành

2 t + 3 1 − t = 4.3 t ⇔ 2 3 t + 3 1 − 2 t − 4 = 0  (1)

Xét hàm số f t = 2 3 t + 3 1 − 2 t − 4  trên 0 ; 1 .

Đạo hàm f ' t = 2 3 t . ln 2 3 − 2.3 1 − 2 t . ln 3 < 0, ∀ t ∈ 0 ; 1 . Suy ra hàm số f t  nghịch biến trên 0 ; 1 . Như vậy phương trình f t = 0  có không quá một nghiệm trên [ 0 ; 1 ] .

Nhận thấy f 0 = 2 3 0 + 3 1 − 2.0 − 4 = 0  nên phương trình (1) có duy nhất một nghiệm t = 0 ∈ 0 ; 1 . Suy ra sin x = 0 ⇔ x = k π , k ∈ ℤ  .

Cho   x ∈ − 2017 ; 2017 → − 2017 ≤ k π ≤ 2017 → − 642,03... ≤ k ≤ 642,03. Do   k ∈ ℤ nên k ∈ − 642 ; − 641 ; − 640 ; ... ; 640 ; 641 ; 642 . Vậy có tất cả   642 − − 642 + 1 = 1285 giá trị k nguyên thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có 1285 nghiệm trên − 2017 ; 2017 .