Biết rằng sin 4 x + cos 4 x = m . cos 4 x + n ( m , n ∈ ℚ ) . Tính tổng S = m + n
A. 7/4
B. 1
C. 2
D. 5/4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
CM
Cao Minh Tâm
3 tháng 2 2018
Đúng(0)
Những câu hỏi liên quan
18 tháng 7 2022
a) Ta có (\sin x+\cos x)^{2}=\sin ^{2} x+2 \sin x \cos x+\cos ^{2} x=1+2 \sin x \cos x(sinx+cosx)2=sin2x+2sinxcosx+cos2x=1+2sinxcosx (*)
Mặt khác \sin x+\cos x=msinx+cosx=m nên m^{2}=1+2 \sin \alpha \cos \alpham2=1+2sinαcosα hay \sin \alpha \cos \alpha=\dfrac{m^{2}-1}{2}sinαcosα=2m2−1
Đặt A=\left|\sin ^{4} x-\cos ^{4} x\right|A=∣∣sin4x−cos4x∣∣. Ta có
A=\left|\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)\left(\sin ^{2} x-\cos ^{2} x\right)\right|=|(\sin x+\cos x)(\sin x-\cos x)|A=∣∣(sin2x+cos2x)(sin2x−cos2x)∣∣=∣(sinx+cosx)(sinx−cosx)∣
\Rightarrow A^{2}=(\sin x+\cos x)^{2}(\sin x-\cos x)^{2}=(1+2 \sin x \cos x)(1-2 \sin x \cos x)⇒A2=(sinx+cosx)2(sinx−cosx)2=(1+2sinxcosx)(1−2sinxcosx)
\Rightarrow A^{2}=\left(1+\dfrac{m^{2}-1}{2}\right)\left(1-\dfrac{m^{2}-1}{2}\right)=\dfrac{3+2 m^{2}-m^{4}}{4}⇒A2=(1+2m2−1)(1−2m2−1)=43+2m2−m4
Vậy A=\dfrac{\sqrt{3+2 m^{2}-m^{4}}}{2}A=23+2m2−m4
b) Ta có 2 \sin x \cos x \leq \sin ^{2} x+\cos ^{2} x=12sinxcosx≤sin2x+cos2x=1 kết hợp với (*)(∗) suy ra
(\sin x+\cos x)^{2} \leq 2 \Rightarrow|\sin x+\cos x| \leq \sqrt{2}(sinx+cosx)2≤2⇒∣sinx+cosx∣≤2
Vậy |m| \leq \sqrt{2}∣m∣≤2.
23 tháng 10 2023
a: \(\left(sinx+cosx\right)^2=m^2\)
=>\(m^2=sin^2x+cos^2x+2\cdot sinx\cdot cosx\)
=>\(2\cdot sinx\cdot cosx=m^2-1\)
\(\left(sinx-cosx\right)^2=sin^2x+cos^2x-2\cdot sinx\cdot cosx\)
\(=1-\left(m^2-1\right)=2-m^2\)
\(\left|sin^4x-cos^4x\right|=\left|\left(sin^2x+cos^2x\right)\left(sin^2x-cos^2x\right)\right|\)
\(=\left|sin^2x-cos^2x\right|\)
\(=\left|\left(sinx+cosx\right)\left(sinx-cosx\right)\right|\)
\(=\left|m\left(2-m^2\right)\right|=\left|2m-m^3\right|\)
b: \(m=sinx+cosx\)
\(=\sqrt{2}\cdot\left(sinx\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+cosx\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
\(=\sqrt{2}\cdot sin\left(x+\dfrac{\Omega}{4}\right)\)
=>\(\left|m\right|=\sqrt{2}\cdot\left|sin\left(x+\dfrac{\Omega}{4}\right)\right|\)
\(0< =\left|sin\left(x+\dfrac{\Omega}{4}\right)\right|< =1\)
=>\(0< =\sqrt{2}\cdot\left|sin\left(x+\dfrac{\Omega}{4}\right)\right|< =\sqrt{2}\)
=>\(\left|m\right|< =\sqrt{2}\)
H
23 tháng 6 2019
a)\(\left(\sin x+\cos x\right)^2=\sin^2x+\cos^2x+2\sin x\cdot\cos x\)
\(=1+2\cdot\frac{1}{2}=1+1=2\)
\(\Rightarrow\sin x+\cos x=\sqrt{2}\)
b)\(\sin^4x+\cos^4x=\left(\sin^2x+\cos^2x\right)^2-2\sin^2x\cdot\cos^2x\)
\(=1^2-2\cdot\frac{1}{2}^2=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
c)\(\left|\sin x-\cos x\right|^2=\left(\sin x-\cos x\right)^2=\sin^2x+\cos^2x-2\sin x\cdot\cos x=1-2\cdot\frac{1}{2}=1-1=0\)
\(\left|\sin x+\cos x\right|=0\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 2 2021
\(sinx+cosx=m\Leftrightarrow\left(sinx+cosx\right)^2=m^2\)
\(\Leftrightarrow1+2sinx.cosx=m^2\Rightarrow sinx.cosx=\dfrac{m^2-1}{2}\)
\(A=sin^2x+cos^2x=1\)
\(B=sin^3x+cos^3x=\left(sinx+cosx\right)^3-3sinx.cosx\left(sinx+cosx\right)\)
\(=m^3-\dfrac{3m\left(m^2-1\right)}{2}=\dfrac{2m^3-3m^3+3m}{2}=\dfrac{3m-m^3}{2}\)
\(C=\left(sin^2+cos^2x\right)^2-2\left(sinx.cosx\right)^2=1-2\left(\dfrac{m^2-1}{2}\right)^2\)
\(D=\left(sin^2x\right)^3+\left(cos^2x\right)^3=\left(sin^2x+cos^2x\right)^3-3\left(sin^2x+cos^2x\right)\left(sinx.cosx\right)^2\)
\(=1-3\left(\dfrac{m^2-1}{2}\right)^2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 5 2020
3.
\(f\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\Rightarrow f'\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=-sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\)
\(f'\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=-sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\)
\(f'\left(0\right)=-sin\left(0\right)=0\)
\(2f'\left(x+\frac{\pi}{3}\right).f'\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=2sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\)
\(=cos\left(\frac{\pi}{2}\right)-cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=-cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)\)
\(f'\left(0\right)-f\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=0-cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=-cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)\)
\(\Rightarrow2f'\left(x+\frac{\pi}{3}\right)f'\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=f'\left(0\right)-f\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)\) (đpcm)
4.
\(y=3\left(sin^4x+cos^4x\right)-2\left(sin^6x+cos^6x\right)\)
\(=3\left(sin^2x+cos^2x\right)^2-6sin^2x.cos^2x-2\left(sin^2x+cos^2x\right)^3+6sin^2x.cos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)\)
\(=3-2=1\)
\(\Rightarrow y'=0\) ; \(\forall x\)
5.
\(y=\left(\frac{sinx}{1+cosx}\right)^3=\left(\frac{sinx\left(1-cosx\right)}{1-cos^2x}\right)^3=\left(\frac{sinx\left(1-cosx\right)}{sin^2x}\right)^3=\left(\frac{1-cosx}{sinx}\right)^3\)
\(y'=3\left(\frac{1-cosx}{sinx}\right)^2\left(\frac{sin^2x-cosx\left(1-cosx\right)}{sin^2x}\right)=3\left(\frac{1-cosx}{sinx}\right)^2\left(\frac{1-cosx}{sin^2x}\right)=\frac{3\left(1-cosx\right)^3}{sin^4x}\)
\(\Rightarrow y'.sinx-3y=\frac{3\left(1-cosx\right)^3}{sin^3x}-3\left(\frac{1-cosx}{sinx}\right)^3=0\) (đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 8 2020
Nhận thấy \(cosx=0\) ko phải nghiệm, chia 2 vế cho \(cos^2x\)
\(2tan^2x-tanx-m=1+tan^2x\)
\(\Leftrightarrow tan^2x-tanx-1=m\)
Đặt \(tanx=t\Rightarrow t\in\left[-1;1\right]\)
\(\Rightarrow t^2-t-1=m\)
Xét \(f\left(t\right)=t^2-t-1\) trên \(\left[-1;1\right]\) có \(-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}\in\left[-1;1\right]\)
\(f\left(-1\right)=1\) ; \(f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{5}{4}\) ; \(f\left(1\right)=-1\)
\(\Rightarrow-\frac{5}{4}\le m\le1\Rightarrow m=\left\{-1;0;1\right\}\) có 3 giá trị nguyên của m
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 6 2019
Câu 1:
\(y=S\left(\frac{3-S^2}{2}\right)=\frac{3}{2}S-\frac{1}{2}S^3\)
Khi \(S\rightarrow+\infty\) thì \(y\rightarrow-\infty\)
Khi \(S\rightarrow-\infty\) thì \(y\rightarrow+\infty\)
Hàm số không có GTLN và GTNN
Câu 2:
\(y=sin^4x+cos^4x+2sin^2x.cos^2x-2sin^2x.cos^2x\)
\(y=\left(sin^2x+cos^2x\right)^2-\frac{1}{2}\left(2sinx.cosx\right)^2\)
\(y=1-\frac{1}{2}sin^22x\)
Do \(0\le sin^22x\le1\)
\(\Rightarrow y_{max}=1\) khi \(sin2x=0\)
\(y_{min}=\frac{1}{2}\) khi \(sin2x=\pm1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 6 2019
Câu 3:
\(y=sin^6x+cos^6x+3sin^2x.cos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)-3sin^2x.cos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)\)
\(y=\left(sin^2x+cos^2x\right)^3-3sin^2x.cos^2x\)
\(y=1-\frac{3}{4}sin^22x\)
Do \(0\le sin^22x\le1\)
\(\Rightarrow y_{max}=1\) khi \(sin2x=0\)
\(y_{min}=\frac{1}{4}\) khi \(sin2x=\pm1\)
Câu 4:
\(y=\frac{cosx+2sinx+3}{2cosx-sinx+4}\)
\(\Leftrightarrow2y.cosx-y.sinx+4y=cosx+2sinx+3\)
\(\Leftrightarrow\left(y+2\right)sinx+\left(1-2y\right)cosx=4y-3\)
Theo điều kiện có nghiệm của pt lượng giác bậc nhất:
\(\left(y+2\right)^2+\left(1-2y\right)^2\ge\left(4y-3\right)^2\)
\(\Leftrightarrow11y^2-24y+4\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{11}\le y\le2\)
NT
22 tháng 6 2019
c)
\(\cos\left(x\right)^4+\sin\left(x\right)^2\cos\left(x\right)^2+\sin\left(x\right)^2\\ =\left(\cos\left(x\right)^2+\sin\left(x\right)^2\right)\cos\left(x\right)^2+\sin\left(x\right)^2\\ =\cos\left(x\right)^2+\sin\left(x\right)^2\\ =1\)
NT
22 tháng 6 2019
\(\cos\left(x\right)^4-\sin\left(x\right)^4+2\sin\left(x\right)^2\\ =\left(\cos\left(x\right)^2-\sin\left(x\right)^2\right)\left(\cos\left(x\right)^2+\sin\left(x\right)^2\right)+2\sin\left(x\right)^2\\ =\cos\left(2x\right)\cdot1+2\sin\left(x\right)^2\\ =\cos\left(x\right)^2-\sin\left(x\right)^2+2\sin\left(x\right)^2\\ =\cos\left(x\right)^2+\sin\left(x\right)^2\\ =1\)
NT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 9 2020
a/ \(m=0\) pt vô nghiêm
Với \(m\ne0\Rightarrow cosx=\frac{m+1}{m}\)
\(-1\le cosx\le1\Rightarrow-1\le\frac{m+1}{m}\le1\)
\(\Rightarrow m\le-\frac{1}{2}\)
b/ \(\left(sin^2x+cos^2x\right)^3-3sin^2x.cos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)-cos4x=m\)
\(\Leftrightarrow1-\frac{3}{4}sin^22x-cos4x=m\)
\(\Leftrightarrow1-\frac{3}{4}sin^22x-\left(1-2sin^22x\right)=m\)
\(\Leftrightarrow\frac{5}{4}sin^22x=m\)
Do \(0\le\frac{5}{4}sin^22x\le\frac{5}{4}\Rightarrow0\le m\le\frac{5}{4}\)
c/ \(\Leftrightarrow1-\frac{3}{4}sin^22x=m\left(1-\frac{1}{4}sin^22x\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(m-3\right)sin^22x=4m-4\)
- Với \(m=3\) pt vô nghiệm
- Với \(m\ne3\Rightarrow sin^22x=\frac{4m-4}{m-3}\)
Do \(0\le sin^22x\le1\Rightarrow0\le\frac{4m-4}{m-3}\le1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{3}\le m\le1\)