Cho các số thực x,y,z không âm thỏa mãn x + y + z = 2. GTLN và GTNN của biểu thức P = 2 1 + x + 1 + y 2 + 1 + z 2 lần lượt là M và m. Giá trị M + m nằm trong khoảng nào dưới đây?
A. (5;6)
B. (6;7)
C. (7;8)
D. (8;9)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left\{{}\begin{matrix}x;y;z\ge0\\x+y+z=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le x;y;z\le1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2\le x\\y^2\le y\\z^2\le z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^2+x+1\le x^2+2x+1\\2y^2+y+1\le y^2+2y+1\\2z^2+z+1\le z^2+2z+1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P\le\sqrt{\left(x+1\right)^2}+\sqrt{\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(z+1\right)^2}=x+y+z+3=4\)
\(P_{max}=4\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị
\(P=x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{3}\left(x+y+z\right)^3=\dfrac{64}{3}\)
\(P_{min}=\dfrac{64}{3}\) khi \(x=y=z=\dfrac{4}{3}\)
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(a+1;b+1;c+1\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=1\\a;b;c\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow0\le a;b;c\le1\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\le a\\b^2\le b\\c^2\le c\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le a+b+c=1\)
\(P=\left(a+1\right)^2+\left(b+1\right)^2+\left(c+1\right)^2\)
\(P=a^2+b^2+c^2+2\left(a+b+c\right)+3=a^2+b^2+c^2+5\le1+5=6\)
\(P_{max}=6\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị hay \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;2\right)\) và hoán vị